Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.266	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balázs Iván József , Binzberger Gábor , Brindza Béla , Fazakas Tünde , Gubics József , Horváth István , Krenedits Sándor , Lévai László , Lovász Attila , Miklós Dezső , Nemes István , Schram Zsolt , Seress Ákos , Szabó 167 Ferenc , Vancsó Ödön , Vékony György , Wolf György
Füzet:	1977/október, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Differenciálási szabályok, L'Hospital szabály, Trigonometriai azonosságok, Függvény határértéke, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/március: Pontversenyen kívüli P.266

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A keresett határértéket jelöljük $H$ -val.

\begin{matrix} Legyen u = \frac{x + 1}{x + 2}, azaz x = \frac{2 u - 1}{1 - u} (x \neq - 2, u \neq 1) . \end{matrix}

H

akkor és csak akkor létezik, ha

G = {lim}_{u \to 1}^{} \frac{2 u - 1}{1 - u} (arc tg u - \frac{π}{4})

létezik és ekkor nyilván

H = G

(ez a függvények határértékére vonatkozó tételekből következik). Azonban:

{lim}_{u \to 1}^{} (1 - 2 u) = - 1

és

{lim}_{u \to 1}^{} \frac{arc tg u - \frac{π}{4}}{u - 1} = {lim}_{u \to 1}^{} \frac{arc tg u - arc tg 1}{u - 1}

. Ez utóbbi határérték azonban a differenciálhányados-függvény definíciója miatt:

\begin{matrix} (arc tg u)'_{u = 1} = {(\frac{1}{1 + u_{.}^{2}})}_{u = 1} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Alkalmazva a szorzat határértékéről tanultakat, adódik, hogy

H = - \frac{1}{2}

Brindza Béla (Csongrád, Batsányi J. Gimn.)

II. megoldás. Könnyen látható, hogy

\begin{matrix} arc tg x - arc tg y = arc tg \frac{x - y}{1 + x y} (x y \neq - 1), \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} {lim}_{x \to 0}^{} \frac{arc tg x}{x} = 1. \end{matrix}

(2)

A keresett határérték kiszámítása ezek után a következőképpen történhet:

\begin{matrix} H = {lim}_{x \to \infty}^{} x (arc tg \frac{x + 1}{x + 2} - \frac{π}{4}) = {lim}_{x \to \infty}^{} x (arc tg \frac{x + 1}{x + 2} - arc tg 1) \end{matrix}

(1) miatt, ez tovább alakítható, s így (2) alapján:

\begin{matrix} H = {lim}_{x \to \infty}^{} x \end{matrix}