|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.265 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balázs Iván József , Horváth 712 István , Hujter Mihály , Krenedits Sándor , Lévai László , Mózner László , Sali Attila , Seress Ákos , Váradi Ferenc , Vékony György |
Füzet: |
1977/október,
71 - 72. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Indirekt bizonyítási mód, Konstruktív megoldási módszer, Mértani sorozat, Természetes számok, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1976/március: Pontversenyen kívüli P.265 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A válasz: igen, ennek bizonyítására elegendő megadnunk egy megfelelő felosztást.
halmaz:
halmaz:
A képzés módja: az csoportba kerülnek azok az természetes számok, melyekre , a csoportba pedig 2 és azon számok, melyekre | | Nyilvánvaló, hogy így minden természetes szám pontosan egy csoportban szerepel. Annak bizonyítására, hogy egyik csoport sem tartalmaz végtelen mértani sorozatot, induljunk ki egy tetszőlegesen megadott hányadosú végtelen mértani sorozatból. Belátjuk, hogy található a sorozatnak két olyan tagja, hogy egyik -ban, a másik -ben van. (Nyilván természetes szám.) Legyen a sorozat -nál nagyobb elemei közül a legkisebb. Ilyen biztosan létezik, mert -nál kisebb természetes szám csak véges sok van. Jelölje azt a (egyetlenegy!) természetes számot, amelyre Ezért definícióját figyelembe véve adódik, hogy Vizsgáljuk a sorozat tagjait. Mivel , létezik olyan természetes szám, hogy Viszont | | Így ! egyenlőtlenséghez jutottunk. Ez pedig, (1)-et figyelembe véve, azt jelenti, hogy a sorozat első tagja: és nem lehet ugyanabban a csoportban, s így ellentmondásra jutottunk. Seress Ákos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.) Megjegyzések. 1. Legyen természetes számoknak egy olyan végtelen sorozata, melyre szigorúan monoton növekedve -hez tart. természetes szám és term. szám és . Ekkor is megfelelő felosztást kapunk. Balázs Iván József és Vékony György (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.) 2. Jelölje és a 2032. feladatnak eleget tevő halmazpárt. Legyen
azon természetes számok, melyek prímtényezős felbontásában a legnagyobb kitevő
Ez a pár szintén megfelelő. Sali Attila (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.) |
|