Feladat:	Pontversenyen kívüli P.258	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1977/december, 209. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Sorozat határértéke, Lefedések, Terület, felszín, Egyéb sokszögek geometriája, Mértani sorozat, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/november: Pontversenyen kívüli P.258

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3}{4}T>t>\frac{1}{2}T!}\end{array}$ (1) Egyszerűség kedvéért jelöljük a szóban forgó idomokat ugyanúgy, mint a területüket. Ha $T$-ből elhagyjuk a $t$ ötszöget, öt háromszög marad vissza, jelöljük ezek együttesét $h$-val. Ha $h$ minden háromszögét az ötszögével közös csúcsából kétszeresére nagyítjuk, új határvonaluk az ötszög egy-egy átlója lesz, és a szomszédos háromszögek egymásba fognak nyúlni. Jelöljük a nagyítás után kétszeresen fedett halmazt $S$-sel, az egyszeresen fedettet $C$-vel, és $T$-nek fedetlenül maradt részét $T_1$-gyel. Mivel a kétszeres nagyításban a terület négyszeres, a fentiek szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle 4h=2S+C\mathrm{,}}\end{array}$ és mivel $h=T-t$, $T=T_1+S+C$, (1) bizonyításához elég belátni, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle T_1<S}\end{array}$ (2) (hiszen $T_1$, $S$, $C$ mindegyike pozitív).     Rajzoljuk meg $T_1$-ben is az átlókat, és a megfelelő részeket jelöljük rendre $h_1$-gyel, $S_1$-gyel, $C_1$-gyel, $T_2$-vel. Megmutatjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 4h_1<S\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Jelöljük $T$, $T_1$ csúcsait rendre $A$, $B$, $C$, $D$, $E$-vel, $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$-gyel. Mivel az $A{C}_1$ félegyenes metszi a $BD$ egyenest, $C_1$ közelebb van $BD$-hez, mint $A$. Emiatt a $B{C}_1{E}_1$ háromszög területe kisebb, mint $BA{E}_1$-é, és $C_1{D}_1{E}_1$ területe kisebb $AB{D}_1$-énél. Ebből (3) már következik. (3)-ból viszont az következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle S-T_1>4h_1-T_1=S_1-T_2\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Hasonlóan továbbmenve kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle S-T_1>S_n-T_{n+1}}\end{array}$ (5) teljesül tetszőleges $n$-re. Könnyű látni, hogy $T_n$ tart $0$-hoz, így $S_n<T_n$ miatt $S_n-T_{n+1}$ is, emiatt (5) csak akkor teljesülhet minden $n$-re, ha (2) igaz.