Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.257	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bodó Zalán , Seress Ákos
Füzet:	1976/szeptember, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feltételes valószínűség, események, Várható érték, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/november: Pontversenyen kívüli P.257

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy az $n$ -edik állat érkezése előtt az erdőben $K_{n}$ állat él kettes csoportokban. Mivel ekkor már összesen $(n + 4)$ állat él az erdőben, az $n$ -edik állat $K_{n} / (n + 4)$ valószínűséggel csatlakozik kettes csoporthoz. Ebben az esetben az $(n + 1)$ -edik állat érkezése előtt már csak $(K_{n} - 2)$ állat fog kettes csoportban élni, ha pedig az $n$ -edik valamelyik hármas csoporthoz csatlakozott, akkor $(K_{n} + 4)$ . Ha tehát adott $K_{n}$ , akkor $K_{n + 1}$ feltételes várható értéke

\begin{matrix} k_{n + 1} = (K_{n} - 2) \frac{K_{n}}{n + 4} + (K_{n} + 4) (1 - \frac{K_{n}}{n + 4}) . \end{matrix}

Osszuk el mind a két oldalt az állatok új számával:

\begin{matrix} \frac{k_{n + 1}}{n + 5} = \frac{n - 2}{n + 5} \frac{K_{n}}{n + 4} + \frac{4}{n + 5} . \end{matrix}

itt a bal oldalon annak a feltételes valószínűsége áll, hogy az

(n + 1)

-edik állat kettes csoporthoz csatlakozik, a jobb oldalon

\frac{K_{n}}{n + 4}

pedig az

n

-edik állatra nézve jelenti ugyanezt. Ha tehát vesszük a két oldal várható értékét, a keresett valószínűségre kapunk rekurziót:

\begin{matrix} p_{n + 1} = \frac{n - 2}{n + 5} p_{n} + \frac{4}{n + 5} . \end{matrix}

Ennek alapján a

p_{1} = \frac{2}{5}

valószínűségéből kiindulva a

p_{2} = \frac{3}{5}

p_{3} = \frac{4}{7}

p_{4} = \frac{4}{7}

értéket kapjuk és minden további tag

\frac{4}{7}

lesz, hiszen ha

p_{n} = \frac{4}{7}

, akkor

\begin{matrix} p_{n + 1} = \frac{n - 2}{n + 5} \cdot \frac{4}{7} + \frac{4}{n + 5} = \frac{4}{n + 5} (\frac{n - 2}{7} + 1) = \frac{4}{7} . \end{matrix}