Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.256	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Lévai László , Mihályfi Gyula , Spissich László
Füzet:	1978/január, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vetítések, Trigonometriai azonosságok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szabályos tetraéder, Szögfüggvények a térben, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/október: Pontversenyen kívüli P.256

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a tetraéder köré írt gömb középpontját $K$ -val, $K$ -nak a lapokon levő merőleges vetületét $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel, ezeknek $K$ -ra vonatkozó tükörképét $E$ , $F$ , $G$ , $H$ -val, egy tetszőleges $S$ síkra merőleges, $K$ -n átmenő egyenesnek az $A G B H F D E C$ kocka felületén levő pontjai legyenek $P$ és $Q$ . Legyen $P$ mondjuk az $A G B H$ lapon, és jelöljük az $A K P$ , $B K P$ szögeket rendre $α$ -val, $β$ -val, az $A G B H$ négyzet oldalfelező pontjai által meghatározott négyzetet $N$ -nel.

Könnyen látható, hogy a tetraéder

S

-en levő vetülete pontosan akkor négyszög, ha

P \in N

. Ekkor a vetület területe

cos α + cos β

(egységnek egy lap területét választva), ha pedig

P

N

-en kívül van, és mondjuk

A

van hozzá legközelebb, akkor

cos α

. Ez utóbbi maximuma

P = A

, minimuma

P = L

mellett van, ahol

L

A G

felezőpontja. (

L

helyett persze

N

bármely más csúcsát vehetnénk.)
Megmutatjuk, hogy a

cos α + cos β

összeg maximuma pedig az

N

négyzet

M

centrumában van, minimuma ismét

L

-ben. Mivel az

M

-beli érték nagyobb az

A

-belinél, ebből következik, hogy a keresett maximum (például)

M

-ben, minimum

L

-ben van.
Mivel

\begin{matrix} cos α + cos β = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2} \leq 2 cos A K M, \end{matrix}

a maximum valóban

M

-ben van. Az viszont, hogy a minimum

L

-ben van, abból következik, hogy a vizsgált függvény értéke ‐ az

M L

egyenesen

M

-től

L

felé haladva csökken ‐

N

belsejében, valamely

H G

-vel párhuzamos egyenesen

A B

-től távolodva csökken. Ez utóbbi állításunk azért igaz, mert az említett mozgás közben

α

is,

β

is nő. Ha pedig az

M L

egyenesen mozgunk, a vetület téglalap, amelynek a mozgás során az egyik oldala állandó, a másik fogy.