I. megoldás. Jelöljük a vizsgálandó számot $A$-val. Az $A$ végtelen tizedes törtben végtelen sok 0-tól különböző számjegy van, ugyanis minden prímszám első számjegye nem nulla. Tegyük fel, hogy $A$ racionális. Ekkor $A=0$, $a_1{a}_2\text{...}{a}_k{b}_1{b}_2\text{...}{b}_n$ ($a_i$, $b_i$ a számjegyeket jelöli). Nem lehet mindegyik $b_i$ nulla, mert ekkor $A$-ban csak véges sok nullától különböző számjegy lenne. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy a $b_i{b}_{i+1}\text{...}{b}_n{b}_1\text{...}{b}_{i-1}$ alakú sorozatokban biztosan van nullától különböző számjegy, s ezért az $a_k$ után álló, bármely $n$ egymás utáni számjegy között van nem nulla számjegy (nevezzük ezt $a$-tulajdonságnak). Viszont Dirichlet tételéből tudjuk, hogy a ${10}^{n+1}\cdot x+1$ sorozat $\left(x=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\text{...}\right)$ végtelen sok prímszámot tartalmaz,^{${}^{*}$} e prímszámokban az utolsó jegy 1, előtte $n$ db nulla van. Mivel ez végtelen sokszor megismétlődik, $A$-ban végtelen sokszor állhat $n$ db 0 egymás után, ez pedig az $a$-tulajdonságnak ellentmond.