Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.250	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1979/március, 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenlőtlenségek, Bernoulli-féle egyenlőtlenség, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/május: Pontversenyen kívüli P.250

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Felhasználjuk a következő, Bernoulli-féle egyenlőtlenséget (lásd pl. H. Dörrie: Diadalmas matematika, 49. old.). Ha $u$ és $v$ egynél kisebb pozitív számok, akkor

\begin{matrix} {(1 - u)}^{v} < 1 - u v . \end{matrix}

Az (1) egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül, ha

x

és

y

legalább

1

, így feltesszük, hogy

α = 1 - x

és

β = 1 - y

pozitívak (és természetesen

1

-nél kisebbek). A Bernoulli-féle egyenlőtlenség miatt

\begin{matrix} {(1 - α)}^{β} < 1 - α β \\ {(1 - β)}^{α} < 1 - α β, \end{matrix}

így a bizonyítandó egyenlőtlenség bal oldala

\begin{matrix} {(1 - α)}^{1 - β} + {(1 - β)}^{1 - α} = \frac{1 - α}{{(1 - α)}^{β}} + \frac{(1 - β)}{{(1 - β)}^{α}} > \frac{1 - α + 1 - β}{1 - α β} . \end{matrix}

Így elegendő azt bizonyítanunk, hogy

\begin{matrix} \frac{1 - α + 1 - β}{1 - α β} > 1, \end{matrix}

ami viszont ekvivalens a nyilvánvalóan igaz

(1 - α) (1 - β) > 0

egyenlőtlenséggel.