Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.247	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Füzet:	1979/április, 168 - 169. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sorozat határértéke, Komplex számok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/április: Pontversenyen kívüli P.247

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzünk a síkra egy komplex számsíkot úgy, hogy origója $O$ -ra kerüljön. Jelöljük ebben a $P$ , illetve $A_{i}$ pontoknak megfelelő komplex számokat $p$ -vel, illetve $a_{i}$ -vel $(i = 1, 2, ..., n)$ . Mivel komplex számok szorzatának abszolút értéke egyenlő a számok abszolút értékének szorzatával,

\begin{matrix} ϱ_{n} = \sqrt[n]{{\bar{P A}}_{1} \cdot {\bar{P A}}_{2} \cdot ... \cdot {\bar{P A}}_{n}} = \sqrt[n]{| \prod_{i = 1}^{n} (p - a_{i}) |} \end{matrix}

a_{i}

számok a

z^{n} = a_{1}^{n}

egyenlet gyökei, ezért ennek az egyenletnek a gyöktényezős alakja szerint

\begin{matrix} \prod_{i = 1}^{n} (p - a_{i}) = p^{n} - a_{1}^{n} . \end{matrix}

Emiatt

\begin{matrix} ϱ_{n} = \sqrt[n]{| p^{n} - a_{1}^{n} |} = | p | \sqrt[n]{1 - {| \frac{a_{1}}{p} |}^{n}}, \end{matrix}

és itt az első tényező

\bar{P O}

-val egyenlő, a második pedig

| \frac{a_{1}}{p} | = | \frac{{\bar{O A}}_{1}}{\bar{P O}} | = λ < 1

miatt

1

-hez tart, hiszen ez a

λ

sem

A_{1}

, sem

n

megválasztásától nem függ.