Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.246	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bodó Z. , Déri A. , Major Zoltán , Seress Á. , Surján P.
Füzet:	1978/november, 152. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Osztók száma, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/április: Pontversenyen kívüli P.246

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az $i$ egész pontosan akkor osztja az $m$ egészet, ha van olyan $j$ egész, amelyre

\begin{matrix} i j = m, \end{matrix}

(2)

d (m)

értéke egyenlő

(2)

egész megoldásainak a számával. Emiatt

(1)

bal oldalán az

\begin{matrix} i j \leq n \end{matrix}

(3)

egyenlőtlenség egész megoldásainak a száma áll. Jelöljük ezt

H (n)

-nel, és jelöljük rendre

H^{+} (n)

-nel,

H^{0} (n)

-nel, illetve

H^{-} (n)

-nel közülük azoknak a számát, amelyekre

j - i

értéke pozitív, nulla, illetve negatív. Ekkor egyrészt

H^{0} (n) = k

, másrészt

H^{+} (n) = H^{-} (n)

, így

(1)

ekvivalens a

\begin{matrix} H^{+} (n) + H^{0} (n) = \sum_{i = 1}^{k} [\frac{n}{i}] - \frac{1}{2} (k^{2} - k) \end{matrix}

(4)

állítással. Itt a bal oldalon

(3)

azon megoldásainak a száma áll, amelyekre

i \leq j

is teljesül. Ezekre

\begin{matrix} 1 \leq i \leq k \end{matrix}

és minden ilyen

i

-hez

[\frac{n}{i}] - (i - 1)

olyan

j

található, amelyre teljesül

(3)

, hiszen ezek az

i \leq j \leq \frac{n}{i}

feltételnek eleget tevő egészek. Elvégezve az összegezést, azt kapjuk, ami

(4)

jobb oldalán áll, hiszen

\sum_{i = 1}^{k} (i - 1) = \frac{1}{2} k (k - 1)

Major Zoltán (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn.)