Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.245	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Horváth István
Füzet:	1978/február, 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/április: Pontversenyen kívüli P.245

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a hatványközép a kitevő monoton növő függvénye,

\begin{matrix} \sqrt[n + 1]{\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{n + 1}} \geq \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = A . \end{matrix}

Emiatt

(1)

bal oldalának az értéke legalább

(\sum_{k = 1}^{n} a_{k}) A^{n}

. Ez utóbbi viszont a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség miatt legalább annyi, mint

(1)

jobb oldala. Egyenlőség mindkét esetben, így

(1)

-ben is csak akkor van, ha a számok egyenlőek.

Horváth István (Esztergom, Temesvári Pelbárt Ferences Gimn.)