A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük az egységnyi élű kocka , és kitérő éleinek egy-egy pontját rendre , , -nel. Legyen , és . Célunk, hogy meghatározzuk, , , mely értékeire lesz az háromszög kerülete minimális.
Az oldalak hosszát Pitagorasz tétele segítségével fejezzük ki. Az háromszögből , az háromszögből . Hasonlóan és . Jelöljük ezek összegét -val. Némi átalakítás után -t alulról becsülhetjük a számtani és a négyzetes közép közötti összefüggés segítségével.
Tehát , és egyenlőség csak az esetben áll fenn, azaz ha az háromszög csúcsai a megfelelő élek felezőpontjai. Seress Ákos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.)
II. megoldás. Jelöljük a kitérő éleket , , -rel, felezőpontjaikat , , -rel. Megmutatjuk, hogy a háromszög kerülete minimális a vizsgált háromszögek között. Jelöljük a háromszög síkját -sel, és tükrözzük a kockát az -en átmenő, -re merőleges síkra. Mivel a kocka centruma benne van -ben, az a sík, amire tükrözünk -vel, -val -os szöget zár be. Emiatt tükörképe benne marad a -n átmenő, -re merőleges lap síkjában, és merőleges -re. Jelöljük ezt -gyel, , , tükörképét , , -gyel. Mivel merőleges a tükrözés síkjára, , is benne lesz -ben. Hasonlóan tovább menve lépésről lépésre tükrözzünk a -en, -n, -on, -en átmenő, -re merőleges síkokra, az -edik tükrözés után , , tükörképét , , -gyel jelölve (, , , , azonos -rel). Közben a , , , , , , pontok mind egy egyenesre kerülnek. Hajtsuk végre ezeket a tükrözéseket a , , egyenesek tetszőleges , , pontján is. A háromszög kerületének kétszerese szétnyílik a töröttvonal hosszára. Ennek hossza nem lehet kisebb a szakasz hosszánál, ez viszont egyenlő hosszával és kerületének kétszeresével. Megjegyzés. Ábránkon a szereplő kockát egy -as alaprajzú hatszintes építménybe foglaltuk bele. Hogy a térbeli viszonyokat jobban érzékeltessük, egész közel mentünk hozzá, ezért erős perspektívikus torzulások keletkeztek.
|