Az adott kockát jelöljük $K_1$-gyel, és tegyük fel, hogy élhossza egységnyi. A beírt kocka legyen $K_2$.
Ha a két kockának van párhuzamos lapja, mondjuk a fedőlapjaik egybe is esnek, akkor felülnézetben a feladat a négyzetbe írt legkisebb négyzet feladatára redukálódik. Ennek élhossza $\frac{1}{\sqrt[]{2}}$ (ugyanis a négyzet átlója $1$-nél rövidebb nem lehet), tehát csak azt kell megmutatni, hogy más esetben sem lehet ennél rövidebb a beírt kocka élhossza.
Mivel $K_2$-nek $8$ csúcsa és $K_1$-nek csak $6$ lapja van, kell, hogy legyen $K_1$-nek olyan lapja, amelyre legalább két csúcs esik. Ha kizárjuk az előző speciális esetet, akkor csak két csúcs eshet egy lapra, és ezek éllel vannak összekötve. Feltehetjük például, hogy $K_1$ fedőlapjára esik a $K_2$ kocka $AB$ éle. Tekintsük ekkor $K_{2}AB$-vel átellenes élét, $C_1{D}_1$-et. Ha az ezen levő két csúcs valamelyike az alaplapra esik, akkor a megfelelő lapátló $1$-nél nem lehet kisebb, hiszen $K_1$ magassága $1$. Így $K_2$ élhossza ebben az esetben sem kisebb $\frac{1}{\sqrt[]{2}}$ -nél.
Ha $C_1$ és $D_1$ egyike sem esik $K_1$ alaplapjára, akkor az oldallapok valamelyike is tartalmazza $K_2$ egy élét, mondjuk $EF$-et. Ha $EF$ párhuzamos $K_1$ valamelyik élével, akkor az először tárgyalt speciális eset áll fenn, ezt kizárhatjuk. Ha $AB\Vert EF$, akkor $EF$ párhuzamos a két lap közös élével, ezt az esetet kizártuk, tehát feltehető, hogy $AB\perp EF$. De $AB$ merőleges $K_1$ oldaléleire is, tehát $AB$ merőleges az $EF$-et tartalmazó oldallapra, vagyis megint a már vizsgált speciális esetet kaptuk. Így ezekben az esetekben sem lehet $K_2$ élhossza $\frac{1}{\sqrt[]{2}}$-nél rövidebb, tehát a legkisebb beírt kocka élhossza $\frac{1}{\sqrt[]{2}}$.