Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.237	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Seress Ákos
Füzet:	1976/november, 155 - 156. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Számsorozatok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/február: Pontversenyen kívüli P.237

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha valamely $c$ értékre teljesül, hogy az $(n \sqrt[]{2} - \frac{c}{n}, n \sqrt[]{2} + \frac{c}{n})$ intervallum semmilyen természetes $n$ -re nem tartalmaz egész számot, akkor $n$ értékét $2$ -nek választva $2 \sqrt[]{2} - \frac{c}{2} \leq 2 \sqrt[]{2} < 3$ miatt $2 \sqrt[]{2} + \frac{c}{2} \leq 3$ kell hogy teljesüljön. Ez pedig akkor és csak akkor igaz, ha $c \leq 6 - 4 \sqrt[]{2}$ . Ez azt jelenti, hogy $c$ maximum $6 - 4 \sqrt[]{2}$ lehet. Megmutatjuk, hogy ez jó is: az $I = (n \sqrt[]{2} - \frac{6 - 4 \sqrt[]{2}}{n}, n \sqrt[]{2} + \frac{6 - 4 \sqrt[]{2}}{n})$ intervallum semmilyen természetes $n$ -re nem tartalmaz egész számot.
Ennek bizonyítása érdekében hasonlóan járhatunk el, mint az 1971. feladatban. Tegyük fel, hogy az $I$ intervallum tartalmaz egész számot, jelöljük ezt $A$ -val. Ekkor, mivel $n \sqrt[]{2} - \frac{6 - 4 \sqrt[]{2}}{n} (n \geq 1)$ pozitív, az

\begin{matrix} ({(n \sqrt[]{2} - \frac{6 - 4 \sqrt[]{2}}{n})}^{2}, {(n \sqrt[]{2} + \frac{6 - 4 \sqrt[]{2}}{n})}^{2}) \end{matrix}

intervallum tartalmazni fogja az

A^{2}

természetes számot. Egyszerű számolás mutatja, hogy

\begin{matrix} {(n \sqrt[]{2} - \frac{6 - 4 \sqrt[]{2}}{n})}^{2} > 2 n^{2} - 1 \end{matrix}

minden természetes

n

-re és

\begin{matrix} {(n \sqrt[]{2} + \frac{6 - 4 \sqrt[]{2}}{n})}^{2} \leq 2 n^{2} + 1 n \geq 2 egészre . \end{matrix}

Ebből következik, hogy

n \geq 2

esetén

A^{2}

(2 n^{2} - 1, 2 n^{2} + 1)

intervallumba esik, azaz

A^{2} = 2 n^{2}

. Ekkor azonban

\sqrt[]{2}

racionális szám lenne,

n \geq 2

esetében tehát ellentmondásra jutottunk:

\begin{matrix} n = 1 esetén 1 < \sqrt[]{2} - (6 - 4 \sqrt[]{2}) < \sqrt[]{2} + (6 - 4 \sqrt[]{2}) < 2 \end{matrix}

egyenlőtlenségsorozatból közvetlenül adódik az állítás.

Seress Ákos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.)