Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.236	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Balassa András , Surján Péter , Szőnyi Tamás
Füzet:	1978/december, 215 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sokszög lefedések, Négyzetek, Számsorozatok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/január: Pontversenyen kívüli P.236

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy ha $S_{n}$ határértéke $A^{2}$ , akkor a négyzetek átfedés nélkül elhelyezhetők egy $2 A$ oldalú négyzetben. Mivel a négyzetek sorrendje a kérdésben nem játszik szerepet, feltehetjük, hogy az $a_{n}$ sorozat monoton fogy. Az $a_{n} / A$ sorozat tagjait $b_{n}$ -nel jelöljük, és azt mutatjuk meg, hogy a $b_{n}$ oldalú négyzetek elhelyezhetők egy $2$ oldalú négyzetben.
Mivel $\sum_{i = 1}^{\infty} b_{i}^{2} = 1$ , azért $b_{i} ≦ 1$ , így ha $S = \sum_{i = 1}^{\infty} b_{i} ≦ 2$ , állításunk nyilvánvaló.
Ha $S > 2$ , vágjuk szét a $b_{n}$ sorozatot olyan blokkokra, hogy mindegyikben az összeg éppen túllépje az $1$ -et. Az első blokk tehát az $n_{1}$ -edik tagig tart, ha $n_{1}$ a legkisebb olyan index, amelyre

\begin{matrix} b_{1} + b_{2} + ... + b_{n} ≧ 1 \end{matrix}

teljesül. Általában ha már meghatároztuk

n_{k}

értékét valamilyen

k ≧ 1

számra,

n_{k + 1}

a legkisebb olyan index legyen, amelyre

\begin{matrix} \sum_{i = n_{k} + 1}^{n_{k + 1}} b_{i} ≧ 1 \end{matrix}

teljesül, feltéve, hogy egyáltalán van ilyen index. Megmutatjuk, hogy akármeddig folytatjuk is ezt az eljárást, a blokkzáró tagok összege mindig

1

alatt marad, azaz

\begin{matrix} b_{n_{1}} + b_{n_{2}} + ... + b_{n_{k}} < 1 \end{matrix}

teljesül tetszőleges

k

-ra, amelyre még

n_{k}

értelmezhető. Ha ugyanis ezeket a tagokat megszorozzuk a teljes blokkösszeggel, amelyet ezek a tagok zárnak, akkor anélkül, hogy csökkentenénk az összegüket, a tagok négyzetösszegére jutunk:

\begin{matrix} \sum_{j = 1}^{k} b_{n_{j}} ≦ \sum_{j = 1}^{k} (b_{n_{j}} \sum_{i = n_{j - 1} + 1}^{n_{j}} b_{i}) ≦ \sum_{i = 1}^{n_{k}} b_{i}^{2} ≦ 1. \end{matrix}

(Itt

n_{0} = 0

.) Mivel

b_{i} ≦ 1

, a blokkösszegek nem lehetnek

2

-nél nagyobbak. Emiatt a

k

-adik blokkhoz tartozó négyzetek benne vannak egy

2

hosszú és

b_{n_{k - 1}} + 1

széles sávban. Akár véges sok blokkunk lesz, akár végtelen sok, az őket tartalmazó sávok szélességének összege legfeljebb

1 + b_{1} ≦ 2

, tehát együttesen benne vannak egy

2

oldalú négyzetben.