Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.233	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Szőnyi Tamás
Füzet:	1978/október, 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvény határértéke, Indirekt bizonyítási mód, Valós együtthatós polinomok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/január: Pontversenyen kívüli P.233

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel állításunkkal ellentétben, hogy van olyan

\begin{matrix} M \end{matrix}

polinom, amelyben

m \geq 0

, és a

\begin{matrix} C_{m} (x) = \sum_{i - 0}^{n} b_{i} x^{i} \end{matrix}

polinomban

n \geq 0, b_{n} \neq 0

, ennek ellenére van olyan

a > 1

valós szám, hogy

M (x, a^{x})

azonosan nulla. Mivel

\begin{matrix} M (x, a^{x}) = x^{n} a^{m x} \sum_{k = 0}^{m} \frac{C_{k} (x)}{x^{n}} a^{(k - m) x} \end{matrix}

és itt

x^{n} a^{m x} \neq 0

, ha

x \neq 0

, ez csak úgy lehet, ha a második tag értéke

0

minden

x \neq 0

mellett. Emiatt az

x \to \infty

melletti határértéke is

0

. Ez viszont

b_{n}

-nel egyenlő, amiről épp azt tettük fel, hogy nem egyenlő nullával.

Szőnyi Tamás (Budapest, Móricz Zs. Gimn.)