Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.225	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balog Antal , Réthy István , Sparing László
Füzet:	1976/november, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Binomiális együtthatók, Oszthatósági feladatok, Teljes indukció módszere, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/november: Pontversenyen kívüli P.225

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A vizsgálandó kifejezés a binomiális tételben szereplő kifejezésre emlékeztet. Ez adja az ötletet, hogy az

\begin{matrix} {(1 + \sqrt[]{2^{3}})}^{2 n + 1} \end{matrix}

kifejezést vizsgáljuk. A binomiális tételt alkalmazva:

\begin{matrix} {(1 + 2 \sqrt[]{2})}^{2 n + 1} = {\sum_{k = 0}^{n}}_{}^{} (\binom{2 n + 1}{2 k}) 2^{3 k} + 2 \sqrt[]{2} {\sum_{k = 0}^{n}}_{}^{} (\binom{2 n + 1}{2 k + 1}) 2^{3 k} . \end{matrix}

Az első szummát jelöljük

a_{n}

-nel, a másodikat

b_{n}

-nel. Ekkor

\begin{matrix} {(1 + 2 \sqrt[]{2})}^{2 n + 1} = a + 2 \sqrt[]{2} b_{n}, (ahol a_{n} és b_{n} egészek) . \end{matrix}

(1)

Azt kell bebizonyítanunk, hogy

5 ∤ b_{n} (n = 1, 2, ...)

. Megmutatjuk, hogy az

{(1 + 2 \sqrt[]{2})}^{2 n + 1}

szám

x + 2 \sqrt[]{2} y

alakban (

x, y

egész) egyértelműen írható fel, ugyanis az

x + 2 \sqrt[]{2} y = x' + 2 \sqrt[]{2} y'

egyenlet átrendezéséből

x - x' = (y - y') 2 \sqrt[]{2}

következik. Ha

y - y' \neq 0

lenne, akkor

\begin{matrix} \sqrt[]{2} = \frac{x - x'}{2 (y - y')}, azaz \end{matrix}

\sqrt[]{2}

racionális volna. Tehát

y = y'

, s ekkor

x = x'

.
(1)-ből következik, hogy

\begin{matrix} a_{n + 1} + 2 \sqrt[]{2} b_{n + 1} & = {(1 + 2 \sqrt[]{2})}^{2 n + 1} \cdot {(1 + 2 \sqrt[]{2})}^{2} = (a_{n} + b_{n} \cdot 2 \sqrt[]{2}) {(1 + 2 \sqrt[]{2})}^{2} = \\ = (9 a_{n} + 16 b_{n}) + 2 \sqrt[]{2} (9 b_{n} + 2 a_{n}) . \end{matrix}

Az említett egyértelműség miatt:

\begin{matrix} a_{n + 1} & = 9 a_{n} + 16 b_{n}, \\ b_{n + 1} & = 2 a_{n} + 9 b_{n} . \end{matrix}

Ezekből két egymás utáni helyettesítéssel:

\begin{matrix} b_{n + 2} = 1593 b_{n} + 550 a_{n} \end{matrix}

(2)

(1)-ből:

\begin{matrix} a_{0} = b_{0} = 1. \end{matrix}

Rekurziós képletünkből következik, hogy

b_{1} = 11, b_{2} = 149

azaz

5 ∤ b_{1} és 5 ∤ b_{2}

. Mivel

(1593, 5) = 1

, és

5 / 550 a_{n}

, (2)-ből következik, hogy

5 ∤ b_{n + 2}

akkor és csak akkor igaz, ha

5 ∤ b_{n}

. Mivel azonban

5 ∤ b_{1}

és

5 ∤ b_{2}

, ezért teljes indukció alkalmazásával következik állításunk.

Balog Antal (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)