Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.224	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hasenfratz Anna
Füzet:	1981/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hiperbola, mint mértani hely, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/október: Pontversenyen kívüli P.224

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a szögtartomány nyílásszögét $2 α$ -val, és válasszuk a koordináta-rendszer $x$ tengelyének pozitív felét a szögtartomány szögfelezőjének, egységnek pedig válasszuk $v$ hosszának felét. Írjunk a szögtartományba a szárakat érintő egységsugarú $k_{0}$ kört, ennek középpontja lesz $C_{0}$ és legyen $B_{0}$ a $\vec{C_{0} B_{0}} = \frac{1}{2} v$ vektor végpontja. $D_{0} D_{0}'$ pedig a $B_{0} C_{0}$ -ra merőleges átmérő.

A szárakat érintő tetszőleges

k

kör

k_{0}

-ból az

O

centrumú nagyítással kapható, legyen ennek aránya

1 : t

, a

C_{0}

D_{0}

D'_{0}

pontok megfelelőit pedig jelöljük

C

-vel,

D

-vel,

D'

-vel.

B

-re most két pont jöhet szóba, ezek

D D'

-re eső

F

F'

vetületére

\begin{matrix} C F = \sqrt[]{t^{2} - 1} \cdot C D, C F' = \sqrt[]{t^{2} - 1} \cdot C D' \end{matrix}

teljesül. Emiatt

B

paraméteres egyenlete

\begin{matrix} x = cos β + \frac{t}{sin α} \pm \sqrt[]{t^{2} - 1} sin β, \\ y = sin β \mp \sqrt[]{t^{2} - 1} cos β, \end{matrix}

ahol

β

\vec{C_{0} B_{0}}

vektor és az

x

tengely közti szög.
A kapott egyenlet a

B_{0}

-ból induló, a pozitív

x

tengellyel párhuzamos félegyenes egyenlete, ha

cos β = 0

, különben a

\begin{matrix} ξ = \frac{x - cos β}{cos β}, η = \frac{y - sin β}{cos β} \end{matrix}

új változókra a

\begin{matrix} ξ cos β = \frac{\sqrt[]{η^{2} + 1}}{sin α} - η sin β \end{matrix}

egyenletet kapjuk, ami egy hiperbola egyik ágának az egyenlete.

Hasenfratz Anna, Budapest