Feladat: Pontversenyen kívüli P.223 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Hasenfratz Anna ,  Major Zoltán 
Füzet: 1976/november, 153 - 154. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Terület, felszín, Egyéb sokszögek geometriája, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/október: Pontversenyen kívüli P.223

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen először P a sokszögön kívül, vagy a sokszög határán levő tetszőleges pont. Ha a P ponton áthaladó e egyenes a sokszög területét felezi, akkor a terület additív tulajdonsága miatt a P ponton áthaladó g(≢e) egyenes már biztosan nem fogja felezni a sokszög területét.
Feltehetjük tehát, hogy P az S sokszög belsejében van, legyen SP-re vonatkozó tükörképe S'.
 

 

Tegyük fel, hogy a P ponton keresztül több, mint n területfelező egyenes húzható. Legyen e és f két egymás melletti területfelező. Az S sokszög e és f által meghatározott két szögtartományba (A-ba ill. B-be) eső részeinek megegyezik a területe; éppen e és f területfelező tulajdonsága miatt. Ezért SA-ba eső határvonala P-re vonatkozó tükörképén és S'B-be eső határvonalán kell legalább 1 közös ‐ B belsejébe eső ‐ pontnak lenni. Ezért S-nek és S'-nek több mint 2n közös pontja van. Ez pedig ellentmondás, mert S' bármelyik oldala legfeljebb 2 pontban metszhet S határvonalába (feltettük, hogy nincsenek párhuzamos oldalak).
 

  Hasenfratz Anna (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.)