A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen tetszőleges szám, amely mellett a kívánt osztályozás elvégezhető, és jelöljük a kapott osztályokat -val, -vel. Legyen , az két különböző eleme, és a tetszőleges eleme, amelyre teljesül. Ha a számot még osztályoztuk, az csak -hez tartozhat, hiszen két különböző -beli szám összege. Ha az számot még osztályoztuk, az csak -hoz tartozhat, hiszen két különböző -beli összege. Ekkor a szám nem tartozhat -hoz, különben az -beli két különböző -beli szám összege volna. Ezek szerint a számot már semmi esetre sem osztályozhatjuk, hiszen ez két különböző -beli számnak is és két különböző -beli számnak is az összege.
Ezzel beláttuk, hogy hiszen különben az , , , , számok mindegyikét osztályoznunk kellene, és mint megmutattuk, ez lehetetlen. Ha az számok valamely kívánt tulajdonságú osztályozásánál az , , számok nem kerülnek ugyanabba az osztályba, válasszuk -nak azt az osztályt, amelyikbe közülük kettő került, -nek ezek közül a kisebbiket, -nek a másikat, és legyen a harmadik. Ha , ezekre teljesül , emiatt ilyen osztályozás csak akkor lehetséges, ha -re teljesül a -nek megfelelő | | (3) | egyenlőtlenség. Ha , és , akkor szerint ; ha , akkor az , választással kapjuk -ből, hogy ; ha pedig , akkor , -beli, és két újabb esetet kell megkülönböztetnünk aszerint, hogy a -hoz tartozik-e vagy -hez. Ha , akkor , , , és a már nem osztályozható. Ha , akkor , , , és már a sem osztályozható. Tehát mellett helyett csak a kevesebbet mondó állítható. Meg kell még vizsgálnunk azt az esetet, amikor az , , számok ugyanabba az osztályba kerülnek. Válasszuk ebben az esetben az -t tartalmazó osztályt -nak. Mivel , , a szám csak -beli lehet, így alkalmazhatjuk -t az , , helyettesítéssel: Ha , akkor szigorúbb -nál, tehát a legnagyobb -et a már vizsgált osztályozás biztosítja. Ha , akkor szigorúbb -nél, tehát legnagyobb szóba jöhető értéke Ez el is érthető, ha -nek a halmazt választjuk, -nak pedig ennek komplementerét: | |
Kaptuk tehát, hogy legnagyobb értékét adja meg, kivéve az esetet, amikor . Seress Ákos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
Megjegyzés. Az, hogy a kívánt osztályozás nem végezhető el tetszőlegesen nagy -re, már abból látszik, hogy ha , , , akkor . Ha ugyanis most mellé veszünk fel egy elemet, azt is beláthatjuk, hogy , szóval a baj ott kezdődik, hogy nem lehet eldönteni, hogy egy -beli és egy -beli elem összege hova tartozzon. \epsfbox{1975-155-1.eps}{P. 221.}
|