Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.219	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Birndza Béla , Borsodi Donát , Major Zoltán , Seress Ákos
Füzet:	1975/december, 219 - 220. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Szabályos sokszögek geometriája, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/szeptember: Pontversenyen kívüli P.219

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az első $n$ -szöget $p$ -vel, a másodikat $q$ -val. Ha $p$ minden csúcsa azonos $q$ valamelyik csúcsával, $p$ azonos $q$ -val, így a feladat állítása nyilvánvaló. Feltehetjük tehát, hogy $p$ -nek van olyan csúcsa, mely $q$ valamely oldalának a belsejében van. Jelöljük $p$ -nek ezt a csúcsát $P_{1}$ -gyel, és $p$ további csúcsait pozitív körüljárás szerint jelöljük $P_{2}$ -vel, $P_{3}$ -mal, $..., P_{n}$ -nel, $q$ -n pedig ugyancsak pozitív körüljárás szerint $P_{1}$ -ből elindulva az első csúcs legyen $Q_{1}$ , és a továbbiak $Q_{2}, Q_{3}, ..., Q_{n}$ .

Vigye az a

Q_{n}

centrumú hasonlóság, mely

Q_{1}

-et

P_{1}

-be viszi,

q

-t

q'

-be,

Q_{i}

-t

Q'_{i}

-be

(i = 1,2, ..., n)

. Az így kapott

q'

-nek

Q_{1}

csúcsa azonos

P_{1}

-gyel, és körüljárása azonos

p

körüljárásával, emiatt az a

P_{1}

, körüli forgatás, mely

P_{n}

-et

P_{2}

-be viszi,

Q_{n}

-et

Q'_{2}

-be viszi. Vigye ez a forgatás

Q_{i}

-t

Q_{i}^{*}

-ba

(i = 1,2, ..., n)

, és

q

-t

q^{*}

-ba. Mivel

P_{n}

rajta van

q

-n,

P_{n}

forgatásból származó képe,

P_{2}

rajta van

q^{*}

-on. Természetesen rajta van

P_{2} q

-n is,

P_{2}

tehát csak

q^{*}

és

q

közös pontja lehet.
A

Q'_{2}

pont, származtatása szerint, rajta van a

Q_{2} Q_{n}

szakaszon. Ha

n = 3

, akkor

Q_{2} Q_{n}

oldala

q

-nak, tehát

Q'_{2}

q^{*}

és

q

közös pontja, ha pedig

n > 3

, akkor

Q'_{2}

q

belsejében van. A

Q_{1}^{*} Q_{n}^{*},

Q_{n}^{*} Q_{n - 1}^{*}

szakaszok mindkét esetben metszik a

Q_{1} Q_{n}

illetve

Q_{1} Q_{2}

, szakaszokat, tehát

Q_{1}^{*}

Q_{n - 1}^{*}

q

-nak már külső pontja, és

q^{*}

-nak további csúcsai is

q

-n kívül vannak. Jelöljük a

Q_{1} Q_{2}

Q_{n}^{*} Q_{n - 1}^{*}

szakaszok metszéspontját

R

-rel. Mivel

Q_{1}^{*} Q_{n}^{*} | | Q_{1} Q_{2}

Q_{n}^{*} Q_{n - 1}^{*} | | Q_{n} Q_{1}

P_{1} Q_{1} R Q_{n}^{*}

négyszög paralelogramma, és így

Q_{1} R = Q_{n} P_{1}

. Ha

n > 3

P_{1}

-n kívül

R

q

q^{*}

vonalak egyetlen metszéspontja,

P_{2}

tehát csak

R

lehet, és ez már

P_{n}

helyzetét is egyértelműen meghatározza: ez az a pont, amelyet az előbb használt,

P_{1}

körüli forgatás

P_{2}

-be visz. A

P_{1}

P_{2}

P_{n}

pontok

p

helyzetét már egyértelműen meghatározzák, és ebben a helyzetben ‐ mint az könnyen látható,

p

centruma azonos

q

centrumával.
Ezzel az

n ≧ 4

esetben beláttuk a feladat állítását. Az állítás

n = 3

mellett is igaz, ha

P_{2}

azonos

R

-rel. Most azonban

P_{2} Q_{n}^{*}

-gal is azonos lehet, és ekkor

P_{n} Q_{n}

-nel azonos. Ha tehát

n = 3

, akkor a feladat állítása nem igaz: ha két szabályos háromszög közül az egyik csúcsai a másik kerületén vannak, akkor csak annyi igaz, hogy vagy a két háromszög centruma, vagy az egyik csúcsuk azonos.