A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az első -szöget -vel, a másodikat -val. Ha minden csúcsa azonos valamelyik csúcsával, azonos -val, így a feladat állítása nyilvánvaló. Feltehetjük tehát, hogy -nek van olyan csúcsa, mely valamely oldalának a belsejében van. Jelöljük -nek ezt a csúcsát -gyel, és további csúcsait pozitív körüljárás szerint jelöljük -vel, -mal, -nel, -n pedig ugyancsak pozitív körüljárás szerint -ből elindulva az első csúcs legyen , és a továbbiak .
Vigye az a centrumú hasonlóság, mely -et -be viszi, -t -be, -t -be . Az így kapott -nek csúcsa azonos -gyel, és körüljárása azonos körüljárásával, emiatt az a , körüli forgatás, mely -et -be viszi, -et -be viszi. Vigye ez a forgatás -t -ba , és -t -ba. Mivel rajta van -n, forgatásból származó képe, rajta van -on. Természetesen rajta van -n is, tehát csak és közös pontja lehet. A pont, származtatása szerint, rajta van a szakaszon. Ha , akkor oldala -nak, tehát a és közös pontja, ha pedig , akkor a belsejében van. A szakaszok mindkét esetben metszik a illetve , szakaszokat, tehát -nak már külső pontja, és -nak további csúcsai is -n kívül vannak. Jelöljük a , szakaszok metszéspontját -rel. Mivel , a négyszög paralelogramma, és így . Ha , -n kívül a , vonalak egyetlen metszéspontja, tehát csak lehet, és ez már helyzetét is egyértelműen meghatározza: ez az a pont, amelyet az előbb használt, körüli forgatás -be visz. A , pontok helyzetét már egyértelműen meghatározzák, és ebben a helyzetben ‐ mint az könnyen látható, centruma azonos centrumával. Ezzel az esetben beláttuk a feladat állítását. Az állítás mellett is igaz, ha azonos -rel. Most azonban -gal is azonos lehet, és ekkor -nel azonos. Ha tehát , akkor a feladat állítása nem igaz: ha két szabályos háromszög közül az egyik csúcsai a másik kerületén vannak, akkor csak annyi igaz, hogy vagy a két háromszög centruma, vagy az egyik csúcsuk azonos. |