Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.213	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Kecskés Csaba , Kiss Emil , Mercz Béla , Nagy Imre , Ormay György , Páles Zsolt , Pócsi György
Füzet:	1975/november, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logikai feladatok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/május: Pontversenyen kívüli P.213

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy az eljárás nem igazságos.
Mivel a kilenc részből $C$ kezdi a válogatást, azért a zsákmány $1 / 3$ részét mindenképpen megszerezheti. (Mindig a még meglevők közül a legnagyobbat választja ) $B$ is megszerezheti a zsákmány $1 / 3$ részét, ha függetlenül $A$ felosztási módszerétől minden $A$ által kialakított részt három egyenlő részre oszt szét. Ezekből egyet-egyet megszerezhet, így a zsákmány $1 / 3$ részét is megszerezheti.
Így $B$ és $C$ számára az eljárás igazságos, viszont $A$ számára nem az. Ha ugyanis $B$ és $C$ szövetségre lép, együtt megszerezheti a zsákmány ( $7 / 9$ - $ε$ szorosát, ahol $ε$ tetszőlegesen kicsi pozitív szám. Ehhez $B$ -nek azt kell tennie, hogy az $A$ által elkészített részek közül a legnagyobbikat egy nagy és két kicsi részre osztja, a másik két részt pedig igazságosan három részre osztja. Ezután $C$ elveszi a $B$ által elkészített nagy részt, és $B$ -vel együtt még mindig meg tud szerezni $2 - 2$ részt az $A$ által készített másik két rész igazságos harmadaiból. Ha tehát az $A$ által készített részek nagyság szerint rendre $x \geq y \geq z$ -szeresei az egész zsákmánynak, akkor $B$ és $C$ együtt a zsákmánynak legalább

\begin{matrix} (x - ε) + \frac{2}{3} (y + z) = \frac{x}{3} - ε + 2 \frac{x + y + z}{3} \geq \frac{7}{9} - ε \end{matrix}

-szeresét szerzi meg, ahol

ε

azt jelöli, hogy a

B

által készített két kicsi rész együtt hányszorosa az egész zsákmánynak.
Egy elosztási rendszer csak akkor igazságos, ha bármelyik fél a ráeső részt a többiek bármilyen taktikája mellett meg tudja szerezni. A fenti eljárás lehetővé teszi

B

és

C

számára, hogy ketten a zsákmány több mint

2 / 3

-át megszerezzék,

A

számára az elosztás így igazságtalan.

Mercz Béla (Ráckeve, Ady E. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A fenti meggondolás során végig hallgatólagosan feltételeztük, hogy nincs lényeges különbség a rablók között a rablott holmi, illetve annak részei értékének megítélésében. De ha a megadott eljárás igazságos volna, akkor szükségképpen erre az esetre is igazságosnak kellene lennie.

Pócsi György (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.)