Feladat: Pontversenyen kívüli P.212 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Kiss Emil ,  Lelkes András ,  Páles Zsolt 
Füzet: 1975/október, 75. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkbeli ponthalmazok távolsága, Ellipszis, mint kúpszelet, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1974/április: Pontversenyen kívüli P.212

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Abból indulunk ki, hogy van az ellipsziseknek egymáshoz legközelebb eső két pontja: A és B(A∈p,B∈q). Húzzuk meg p-nek A-beli érintőjét és rajzoljunk B köré AB sugarú kört. Ennek a körnek és p-nek az ellipszis konvexitása miatt más közös pontja nem lehet.

 

 

Ellenkező esetben ugyanis találnánk a kör belsejében p-beli pontot, s így nem A,B lenne az ellipszisek egymáshoz legközelebbi pontpárja. Mivel p-nek és a körnek A egyetlen közös pontja, érintőjük is közös, ezért AB⊥e. Hasonlóan adódik, hogy AB merőleges q-nak B-beli érintőjére, amiből már állításunk is következik.
 

 Páles Zsolt (Sátoraljaújhely, Kossuth L. Gimn., IV. o. t.)
 

Megjegyzés. Megoldásunkban csak annyit használtunk ki, hogy p és q konvexek, és bármely pontjukban húzható érintő; ezért állításunk általánosabb formában is érvényes.
Gondolják át az érdeklődők, kell-e (mit kell?) módosítani gondolatmenetünkön, ha A és B olyan pontpár, hogy AB-nél nincs nagyobb távolság p-nek és q-nak egy-egy pontja között.