Írjuk fel a mondott számokat a 3 alapú számrendszerben, a kapott alak számjegyeinek a száma legfeljebb $k$. Válasszuk ki közülük azokat, amelyeknek a számjegyei között nem szerepel 2-es. Így éppen $2^k$ db (különböző) számot választottunk, hiszen a $k$ számjegy mindegyike egymástól függetlenül kétféleképpen választható meg (ki nem írt jegyet 0-nak tekintve).
Nézzük meg, lehet-e a kiválasztott számok közül valamelyik ‐ jelöljük ezt $p$-vel ‐ közülük másik kettőnek a számtani közepe, azaz lehet-e $2p=q+r$, ahol $q$ és $r$ is a választott számok közül való. A $q+r$ összeadást a szokásos módon, számjegyenként végezve sose kapunk a magasabb helyi értékre átviendő maradékot, hiszen két 0-val vagy 1-gyel egyenlő számjegy összege legfeljebb 2. Emiatt az összegben csak akkor áll 2-es számjegy, ha $q$-nak és $r$-nek az ugyanolyan helyi értékű számjegyeik 1-esek, és hasonlóan látható, hogy az összegben 0 számjegy csak $0+0$ összegként keletkezhet. Mindkét esetben egyenlő az összeg két tagja, tehát az összeg összes jegyei csak úgy lehetnének 0-k és 2-k, ha $q=r$ volna, amit kizártunk. Tehát a választott számok megfelelnek a feladat követelményeinek.