Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.207	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Kecskés Csaba , Kiss Emil , Lelkes András , Páles Zsolt , Pócsi György , Szécsi Erzsébet
Füzet:	1975/február, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számsorok, Klasszikus valószínűség, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/március: Pontversenyen kívüli P.207

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje $B_{k}$ , ill. $A_{k}$ azt az eseményt, hogy a $k$ -adik dobásra dobunk először hatost, illetve, hogy a $k$ -adik dobásig nem dobunk ötöst. Az az esemény, hogy az első hatos dobásig nem dobunk ötöst, akkor és csak akkor következik be, ha a

\begin{matrix} B_{1} A_{1} + B_{2} A_{2} + ... + B_{n} A_{n} + ... \end{matrix}

esemény bekövetkezik. Ezért a keresett

p

valószínűség egyenlő

P (A_{1} B_{1} + A_{2} B_{2} +

+ ... + A_{k} B_{k} + ...)

valószínűséggel. Mivel

(A_{i} B_{i}) (A_{j} B_{j}) = 0

i \neq j

, ezért

\begin{matrix} p = P (A_{1} B_{1}) + P (A_{2} B_{2}) + ... + P (A_{k} B_{k}) + ... \end{matrix}

Felhasználva, hogy

\begin{matrix} P (A_{k} B_{k}) = {(\frac{4}{6})}^{k - 1} \cdot \frac{1}{6} . \\ p = \frac{1}{6} + (\frac{1}{6}) (\frac{4}{6}) + (\frac{1}{6}) {(\frac{4}{6})}^{2} + ... + (\frac{1}{6}) {(\frac{4}{6})}^{k - 1} + ... = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1 - \frac{4}{6}} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Pócsi György (Debrecen, Fazekas M. Gimn.)

II. megoldás. Jelölje

A

azt az eseményt, hogy előbb dobunk ötöst, mint hatost,

B

azt, hogy előbb dobunk hatost, mint ötöst, végül pedig

C

azt, hogy az előbbi esetek egyike sem következik be. Nyilván

P (A) = P (B)

H = A + B + C

és

A B = A C = B C = 0

. Ezért

\begin{matrix} P (A) + P (B) + P (C) = 2 \cdot P (A) + P (C) = 1. \end{matrix}

(1)

Határozzuk meg

P (C)

-t!

\begin{matrix} P (C) = 1 - \sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{4}{6})}^{k - 1} \cdot \frac{2}{6} = 1 - \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 1 - \frac{2}{6} \cdot 3 = 0. \end{matrix}

Ezt (1)-be helyettesítve:

\begin{matrix} P (A) = 1 / 2 adódik . \end{matrix}

Szécsi Erzsébet (Debrecen, Fazekas M. Gimn. II. o. t.) dolgozata alapján