Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.203	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Páles Zs. , Pócsi György
Füzet:	1980/szeptember, 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Koordináta-geometria, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/február: Pontversenyen kívüli P.203

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy téglatest $(x$ , $y$ , $z)$ koordinátájú pontjai a térben az

\begin{matrix} a ≦ x ≦ b, c ≦ y ≦ d, e ≦ z ≦ f \end{matrix}

feltételekkel jellemezhetőek, ennek megfelelően minden téglatesthez minden koordinátatengelyen egy-egy intervallum tartozik. Ha a

T_{1}

T_{2}

...

T_{n}

rendszer megfelelő, akkor van olyan

(x

y

z)

pont, amelyik mindegyik

T_{i}

téglatestben benne van. Legyen

A

az első koordinátákhoz tartozó intervallumok alsó határainak legnagyobbika (vagy azok egyike), és

T_{A}

a megfelelő téglalap. Hasonló módon értelmezve a

B

C

D

E

F

számokat és a

T_{B}

...

T_{F}

téglalapokat (ez utóbbiak nem feltétlenül különbözőek) látható, hogy

n ≦ 6

, hiszen az

A

B

C

D

E

F

mennyiségek definíciója miatt a

T_{A}

T_{B}

T_{C}

T_{D}

T_{E}

T_{F}

téglapok metszete minden esetleges további téglalapnak része volna. (Itt

B

az első koordinátákhoz tartozó intervallumok felső határainak legkisebbike.)

\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ a & -1 & -2 & -3 & -3 & -3 & -3 \\ b & +2 & +1 & +3 & +3 & +3 & +3 \\ c & -3 & -3 & -1 & -2 & -3 & -3 \\ d & 3 & 3 & 2 & 1 & 3 & 3 \\ e & -3 & -3 & -3 & -3 & -1 & -2 \\ f & 3 & 3 & 3 & 3 & 2 & 1 \end{matrix}

Egy példával megmutatjuk, hogy

n = 6

elérhető. A téglatestek adatait a mellékelt táblázatban adjuk meg. Mint látható,

A = C = E = - 1

B = D = F = 1

T_{A} = T_{1}

T_{B} = T_{2}

stb. A mellékelt ábra a tér

2 < z < 3

rétegében mutatja a különböző részhalmazokhoz tartozó tartományokat. Ezek alatt az

1 < z < 2

rétegben azok a tartományok vannak, amelyekben a mondott halmazokhoz az

5

társul, alattuk a

- 1 < z < 1

rétegben az

5

-ön kívül a

6

is belép az egyes halmazokba, majd a

- 2 < z < - 1

rétegben az

5

kilép a halmazokból. Végül is mind a

64

részhalmazban találtunk tartományt, a konstrukció tehát megfelelő.