Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.202	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Fodor János , Kiss Emil , Páles Zsolt , Pócsi György , Rapp Ferenc
Füzet:	1975/február, 74 - 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Konstruktív megoldási módszer, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/február: Pontversenyen kívüli P.202

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $n = 1$ , legyen $b_{1} = (1 + q) a_{1}$ . Erre a) és c) teljesül, b) pedig ‐ mint bármely más $b_{1}$ -re ‐ semmitmondó. A továbbiakban feltesszük, hogy $n > 1$ , és megmutatjuk, hogy a

\begin{matrix} b_{k} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} q^{| i - k |}, (k = 1, 2, ..., n) \end{matrix}

számok megfelelőek.

a_{k} < b_{k}

, hiszen a

b_{k}

-t definiáló összeg egyik tagja

a_{k}

.
b) Általában

| i - k | + 1 \geq | i - k - 1 |

, tehát

\begin{matrix} q \cdot a_{i} q^{| i - k |} \leq a_{i} q^{| i - k - 1 |} . \end{matrix}

Ha azonban

i = k + 1

, akkor

| i - k | + 1 > | i - k - 1 |

, tehát

i = k + 1

mellett

\begin{matrix} q a_{i} q^{| i - k |} < a_{i} q^{| i - k - 1 |} . \end{matrix}

is igaz. Ezek szerint, ha

1 \leq k \leq n - 1

, akkor

\begin{matrix} q \sum_{i = 1}^{n} a_{i} q^{| i - k |} < \sum_{i = 1}^{n} a_{i} q^{| i - k - 1 |}, \end{matrix}

azaz

q

b_{k} < b_{k + 1}

. A

q

b_{k + 1} < b_{k}

egyenlőtlenség bizonyítása hasonlóan történhet.
c) Szedjük össze a

b_{1} + ... + b_{n}

összeg

a_{i}

-t tartalmazó tagjait, és jelöljük ezek összegét

s_{i}

-vel:

\begin{matrix} s_{i} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i} q^{| i - k |} < a_{i} \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} q^{| i - k |} = a_{i} (\sum_{k = 0}^{\infty} q^{k} + \sum_{k = 1}^{\infty} q^{k}) = \frac{1 + q}{1 - q} a_{i} . \end{matrix}

Mivel

s_{1} + ... + s_{n} = b_{1} + ... + b_{n}

, ebből következik a bizonyítandó egyenlőtlenség.

Fodor János (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)