Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.200	Korcsoport: -	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Illés Gábor , Kiss Emil , Páles Zsolt , Veres Sándor
Füzet:	1976/március, 115 - 116. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Négyszögek szerkesztése, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/január: Pontversenyen kívüli P.200

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kössük össze $A$ -t a $P Q$ , $R S$ egyenesek $T$ metszéspontjával, és messe ez az egyenes az adott $k$ kört $A'$ -ben. (Ha $P Q ∥ R S$ , az $A T$ egyenes legyen az $A$ -n át velük párhuzamosan húzott egyenes, ha pedig $A T$ érinti $k$ -t, $A'$ legyen $A$ -val azonos. Ehhez hasonló kiterjesztés mellett érvényesek a megoldás további lépései is, ezt azonban nem fogjuk minden esetben megismételni.) Messe az $A' C$ egyenes $P Q$ -t $U$ -ban, $R S$ -t $V$ -ben. Ezeket a pontokat fogjuk megszerkeszteni, belőlük $C$ mint az $U V$ egyenes és $k$ egyik metszéspontja adódik, a keresett négyszög többi csúcsa pedig $C$ -ből kapható meg. Emiatt a megoldások száma 2, 1 vagy 0 az $U V$ egyenes és $k$ kölcsönös helyzete szerint. Az alábbiakból már könnyen kiolvasható a javasolt szerkesztés helyessége is, ennek végiggondolását az olvasóra hagyjuk.

A keresett

U

pont megszerkesztése a következő észrevételen alapszik. Az

A B C A'

húrnégyszög oldalegyenesei a

P Q

egyenest rendre a

P

Q

U

T

pontokban metszik. Megmutatjuk, hogy ha ugyanezt az egyenest ugyancsak

k

-ba írt

A_{1} B_{1} C_{1} A'_{1}

húrnégyszög

A_{1} B_{1}

B_{1} C_{1}

A'_{1} A_{1}

oldalegyenesei rendre a

P

Q

T

pontokban metszik akkor

C_{1} A'_{1}

U

-ban metszi az egyenest. Választhatjuk például

A_{1}

A'_{1}

-nek

R S

és

k

metszéspontjait, ezek

B_{1}

C_{1}

helyzetét már meghatározzák.

V

megszerkesztése hasonlóan történhet az

A A' C D

húrnégyszög alapján, például a

P Q

egyenes

k

-n levő

A_{2}

A'_{2}

pontjaiból kiindulva.
Észrevételünk bizonyításához felhasználjuk a következő, Pascaltól származó tételt. Ha 1, 2, 3, 4, 5, 6 egy kör tetszőleges pontjai, és a 12, 45 egyenesek metszéspontja I, a 23, 56 egyeneseké II, a 34, 61 egyeneseké pedig III, akkor az I, II, III pontok egy egyenesen vannak. (A tétel kör helyett tetszőleges kúpszeletre is érvényes.) Ha pontok helyett érintőket, a pontokat összekötő egyenesek helyett az érintők metszéspontját, az egyenes metszéspontja helyett pedig a metszéspontokat összekötő egyeneseket mondunk, Brianchon tételét kapjuk.
Alkalmazzuk először Pascal tételét az

A

B

C

A_{1}

B_{1}

C_{1}

pontokra, kapjuk, hogy az

A C_{1}

A_{1} C

egyenesek

W

metszéspontja is a

P Q

egyenesen van. Emiatt, ha most az

A

A'

C

A_{1}

A'_{1}

C_{1}

pontokra alkalmazzuk Pascal tételét, kapjuk, hogy

A'_{1} C_{1}

és

A' C

metszéspontja a

T W

egyenesen van, vagyis

A'_{1} C_{1}

ugyanott metszi

P Q

-t, mint

A' C

, és ez az, amit bizonyítani akartunk.

Kiss Emil (Budapest, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.)