Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.199	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Illés Gábor , Kiss Emil , Páles Zsolt , Pócsi György , Rapp Ferenc , Veres Sándor
Füzet:	1975/április, 164 - 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Ponthalmazok, Térgeometria alapjai, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/január: Pontversenyen kívüli P.199

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük valamely $H$ ponthalmaz különböző pontpárjai által meghatározott egyenesek halmazát $E (H)$ -val. Ha egy $H$ ponthalmaz centrálszimmetrikus $C$ centrummal, akkor minden $C$ -n át nem menő, $E (H)$ -beli $e$ egyeneshez található tőle különböző, vele párhuzamos, $E (H)$ -beli egyenes, ilyen például $e$ -nek $C$ -re vonatkozó tükörképe (ami nyilván $E (H)$ -beli). Gondot csak a $C$ -n átmenő egyenesek okozhatnak. Ha $H$ nem csak ugyanazon az egyenesen levő pontokat tartalmaz, ezen a következő módszerrel segíthetünk. Vegyük $H$ tetszőleges $C$ -től különböző $P$ pontját (itt, és a továbbiakban közömbös lesz, hogy $C$ $H$ -hoz tartozik-e vagy sem), és tükrözzük $H$ -t $P$ -re. A $H$ halmaz $P$ -re vonatkozó $H^{*}$ tükörképéből és $H$ -ból álló $H_{p}$ halmazban már a $P$ centrumon átmenő egyenesek sem okoznak gondot.
Valóban, legyen $Q$ tetszőleges pontja $H$ -nak, amelyik nincs a $P C$ egyenesen. A $P Q$ egyenessel párhuzamos, tőle különböző egyenest már $E (H)$ -ban találtunk: ez a $P$ , $Q$ pontok $C$ -re vonatkozó $P_{1}$ , $Q_{1}$ tükörképén átmenő egyenes. (Hasonló a helyzet, ha $Q$ -t $H^{*}$ -ból választjuk, ekkor már $E (H^{*})$ -ban van $P Q$ -val párhuzamos, tőle különböző egyenes.) Azt kell még belátnunk, hogy a $P C$ egyeneshez található $E (H_{p})$ -ben vele párhuzamos, tőle különböző egyenes. Ilyen egyenest kapunk tetszőleges nem $P C$ -n levő $H$ -beli $Q$ -ból kiindulva: ha ismét $Q_{1}$ jelöli $Q$ -nak $C$ -re vonatkozó tükörképét, és $Q^{*}$ a $P$ -re vonatkozót, a $Q_{1} Q^{*}$ egyenes párhuzamos $P C$ -vel, és nem azonos vele.

A feladatban feltett kérdésre tehát igenlő a válasz: ilyet kapunk például, ha tetszőleges térbeli (nem egy síkban levő) centrálszimmetrikus

H

halmazt tükrözünk valamelyik, centrumától különböző pontjára, és vesszük az eredeti, és a tükrözésből származó pontok egyesítését.

Kiss Emil (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Legyenek

P_{1}

P_{2}

...

P_{k}

C

tetszőleges térbeli (nem egy síkban levő) pontok

(k ≧ 3)

, jelöljük

P_{i}

C

-re vonatkozó tükörképét

P_{i + k}

-val

(i = 1, 2, ..., k)

és

P_{i}

-nek

P_{2 k}

-ra vonatkozó tükörképét

P_{i}^{*}

-gal

(i = 1, 2, ..., 2 k - 1)

. Akkor az

M = {P_{i}, P_{i}^{*}}

(i = 1, 2, ..., 2 k - 1)

ponthalmaznak megvan a feladatban mondott tulajdonsága. A kapott

M

pontrendszerhez

4 k - 2

pont tartozik, ennek legkisebb értéke 10. Megfelelő pontrendszert kapunk, ha

M

-hez hozzávesszük

P_{2 k}

-t, vagy

C

-t és

C

-nek

P_{2 k}

-ra vonatkozó tükörképét, vagy akár mindhárom pontot. Ennek megfelelően

4 k - 1

4 k

, és

4 k + 1

elemű ponthalmazt kapunk, tehát minden

n ≧ 10

természetes számhoz található

n

-elemű megfelelő ponthalmaz.
2. Ha

H_{1}

és

H_{2}

, megfelelő centrálszimmetrikus halmazok közös

C

centrummal, akkor a halmazok egyesítéséből álló

H

halmaz is megfelelő (ennek belátását az olvasóra hagyjuk). Könnyen látható, hagy tetszőleges

k ≧ 3

mellett a

2 k

csúcsú szabályos sokszög csúcsainak a halmaza megfelelő (csak éppen nem térbeli) Ha tehát a térben különböző, egy ponton átmenő síkokban olyan páros csúcsú szabályos sokszögeket veszünk fel, amelyek centruma a síkok közös pontja, ezek csúcsainak az egyesítése már a feladat összes követelményét kielégíti. Így származtatható például a kocka élfelezőpontjainak a halmaza, tehát ez a halmaz is megfelelő.
3. Érdekes kérdéseknek látszanak a következők. Van-e 10-nél kevesebb pontból álló megfelelő halmaz? Igaz-e, hogy minden megfelelő halmaz centrálszimmetrikus? Származtathatjuk-e az összes megfelelő halmazt a fenti módszerek kombinálásával?