Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.197	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Kiss Emil , Páles Zsolt , Pócsi György , Veres Sándor
Füzet:	1978/január, 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Feltételes valószínűség, események, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1974/január: Pontversenyen kívüli P.197

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kalapban $n$ fehér és $k$ piros golyó, és jelöljük $p$ -vel, $q$ -val annak a valószínűségét, hogy az első, illetve második ember húz először pirosat. Könnyen látható, hogy ha $k + n > 1$ , akkor

\begin{matrix} p - q = \frac{k}{k + n} - \frac{n}{k + n} \frac{k}{k + n - 1} = p \cdot \frac{k - 1}{k + n - 1} . \end{matrix}

Ha tehát

k > 0

, akkor

p \geq q

. Az egyenlőség csak akkor lehet, ha

k = 1

. Tehát az eljárás során mindenki legalább akkora valószínűséggel húz pirosat, mint a rákövetkező (ez a

k + n = 1

k = 0

esetekben is igaz), és a két valószínűség csak akkor egyenlő, ha húzás előtt

0

vagy

1

piros van a kalapban (ha

k = 0

, nyilván

p = q = 0

). Így a házigazda csak annyit tud elérni, hogy ugyanakkora valószínűséggel húzzon pirosat, mint a többiek. Ehhez egyrészt

1

pirosat kell tennie a kalapba, másrészt biztosítania kell, hogy mindenki ugyanannyiszor húzzon, tehát

10 h - 1

fehéret kell mellé tennie, ahol

h

tetszőleges egész.

Kiss Emil (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn.)