Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.195	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Brindza Béla , Kiss Emil , Lelkes András , Páles Zsolt , Pócsi György , Rappa Ferenc , Székely 618 László
Füzet:	1978/január, 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/december: Pontversenyen kívüli P.195

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $x_{1}^{m} + x_{2}^{m} + x_{3}^{m} = a_{m}$ . Ekkor

\begin{matrix} x_{i}^{m} = - n x_{i}^{m - 2} - k x_{i}^{m - 3} (i = 1, 2, 3 és m \geq 3) . \end{matrix}

Ebből összeadással az

\begin{matrix} a_{m} = - n a_{m - 2} - k a_{m - 3} (m \geq 3) \end{matrix}

(1)

összefüggéshez jutunk. A gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján

a_{0} = 3

a_{1} = 0

, és

\begin{matrix} a_{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = {(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3}) = 2 n . \end{matrix}

Így (1) miatt

a_{3} = - 3 k

a_{4} = - 2 n^{2}

a_{5} = 5 k n

és

a_{7} = - 7 k n^{2}

. Azaz

| a_{7} | = 7 k n^{2}

. Figyelembe véve, hogy

k = 7

, kapjuk az állítást.