A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. | | (1) |
Jelöljük -fel azt az által határolt félsíkot, amelyben a pontok vannak, és válasszuk az -vel megegyező állású egységvektorok közül -nek azt, amelyiket -nál kisebb pozitív irányú forgatás visz -be.
Legyen az a pont, melyre , és a -ra vonatkozó tükörképe. Jelöljük az -t -be vivő forgatást -vel, és tegyük fel, hogy a pontok úgy vannak megszámozva, hogy az sorozat monoton nő: | | (2) | (Ha ez nem teljesülne, változtassuk meg a pontok számozását úgy, hogy az új számozás mellett már teljesüljön (2). Ezt mindig megtehetjük, hiszen ez a módosítás a (1)-ben szereplő összeget változatlanul hagyja.) Feltevésünk szerint páratlan, mondjuk . Jelöljük -fel az egyenest, -fel az vektort, és -gal a pont -en levő vetületét. Azt fogjuk belátni, hogy ebből már következik (1), hiszen a , vektorok merőlegesek -re, így -re merőleges az összegük is, és Pithagorasz tétele szerint
Mivel egyállású -fel, van olyan szakasz, amelyre . Elég belátnunk, hogy ami valóban igaz, mert , és emiatt
hiszen mellett , és a szakaszon monoton fogy, ha pedig akkor , és a szakaszon monoton nő. Mármost (5) szerint és (6). szerint | | (8) | tehát | | (9) | amiből következik (4), hiszen . Megjegyzés. Ha , (1) és (4) nyilvánvaló, az (5)‐(9) állítások pedig formálisan ugyan helyesek, de semmitmondóak. (7)-ből és (8)-ból kiolvasható, hogy (1)-ben az egyenlőség jele akkor és csakis akkor teljesül, ha és (és tetszőleges). |
|