A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a piros színű országok számát -nel, és csúcsaik számát valamilyen sorrendben -gyel, -vel, , -nel. A megfelelő számokat a kék színű országokra jelölje és , , , . A összeg aszerint páros vagy páratlan, hogy a páratlan csúcsú, piros színű országok száma páros-e, vagy sem. Ugyanígy paritása megegyezik a páratlan csúcsú, kék színű országok számának a paritásával, állításunk tehát azt jelenti, hogy páros. Tegyük fel, hogy a piros és kék országok kiküldenek a hozzájuk tartozó csúcsokhoz egy‐egy katonát. Összesen katonát küldenek ki, állításunkat tehát belátjuk, ha sikerül ezeket a katonákat párba állítani. Egy‐egy csúcshoz legfeljebb két katona érkezik, hiszen a csúccsal szomszédos országok között legalább az egyik a sárga és a zöld országok közül való. Ha egy csúcsban két katona őrködik, akkor azok alkossanak egy párt. Az olyan csúcsokban, amelyekben csak egy katona van, a katona országán kívül még van egy sárga és egy zöld ország. Menjünk el ezek közös határvonalán a szomszédos csúcsig: itt is egy magányos katona áll, legyen ez az előbbi párja. Ez a párosítás nyilván kölcsönös, hiszen az utóbb talált katonától épp az előbbihez ment a zöld és sárga országok közt futó határvonal, állításunkat ezzel beláttuk. Kiss Emil (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.) Megjegyzések. 1. Megoldásunkban az első esetben a párba állított két katona közül az egyik piros, a másik kék. A második esetben azonban a két katona egyforma színű is lehet, tévedés volna tehát azt hinni, hogy a fenti meggondolásból az is kijön, hogy . 2. Legyen és a sárga és zöld országok csúcsszám‐összege. Mivel a feladat állítása bármely két színre kimondható, a , , , számok vagy mind párosak, vagy mind páratlanok. 3. Híres megoldatlan probléma, hogy kiszínezhető-e a földgömbön tetszőleges térkép négy színnel. Feladatunk ezzel kapcsolatban csak annyit mond, hogyha kiszínezhető, akkor a színezésnek megvan a fentiekben bizonyított tulajdonsága. |