Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.186	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bereczky G. , Borsodi D. , Dobor T. , Fazekas l. , Fodor J. , Forró T. , Jakab T. , Kaposi Kornélia , Kelemen D. , Kovács Éva , Lakner P. , Lantos L. , Lelkes A. , Maácz Ágnes , Márkus G. , Meszéna G. , Páles Zs. , Ther A.
Füzet:	1974/november, 154 - 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Kombinatorikai leszámolási problémák, Kombinációk, Maradékos osztás, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: Pontversenyen kívüli P.186

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Célszerű lesz olyan új ismeretleneket bevezetnünk, amelyeknek legkisebb megengedett értéke ugyanaz a szám, legyen pl. $1$ :

\begin{matrix} x - 12 = x' \geq 1, y + 5 = y' \geq 1, z + 6 = z' \geq 1, \end{matrix}

(3)

ahol

x

y

z

egész számok. Ezekkel (1) így alakul:

\begin{matrix} 15 x' + 6 y' + 10 z' = 1883. \end{matrix}

(4)

A bal oldal

2

. és

3

. tagja osztható

2

-vel, így a jobb oldal páratlansága alapján

15 x'

, és vele

x'

is páratlan, tehát (4) minden megoldásában

\begin{matrix} x' = 2 x'' - 1 (\geq 1), ahol x'' \geq 1, egész szám \end{matrix}

ezt bevezetjük újabb ismeretlennek.
Hasonlóan ‐ abból, hogy (4) első két tagja osztható

3

-mal, jobb oldala pedig

3 k - 1

alakú, ezért

10 z'

és

10 z' - 9 z' = z'

(- 1)

maradékot ad 3-mal osztva ‐, (3)-t figyelembe véve adódik:

\begin{matrix} z' = 3 z'' - 1, ahol z'' \geq 1, egész szám. \end{matrix}

Végül

15 x' + 10 z'

osztható

5

-tel, 1883 pedig írható

5 k - 2

alakban, azért ugyanez áll

6 y'

-re és vele

y'

-re:

\begin{matrix} y' = 5 y'' - 2, ahol y'' \geq 1, egész szám. \end{matrix}

Új ismeretleneinkkel (4) így alakul:

\begin{matrix} x'' + y'' + z'' = 64, x'', y'', z'' \geq 1, \end{matrix}

(5)

egész számok. Ennek minden egyes megoldása egy megoldást ad a következő problémára: egy pálca hossza

64 cm

, osztópontokkal

cm

-es részekre van felosztva; ezt úgy kell feldarabolnunk

3

személy számára

2

osztópontnál, hogy a pálca (pirossal megjelölt) kezdőpontját tartalmazó darab az I. személynek jusson, a (kékkel megjelölt) végpontját tartalmazó darab a III. személynek, a középső darab pedig a II. személynek. És megfordítva: a pálcafelosztás minden megoldása a (4)-nek is megoldása.
Mármost két osztópont kiválasztása

63

közül,

(\binom{63}{2}) = 1953

-féleképpen lehetséges, és (5) minden így adódó megoldása egyértelműen megoldást ad (4)-re, illetve (1)-re a megfelelő feltételek mellett. ‐ Ezzel a megoldást befejeztük.

Megjegyzés. Az

1953

-as eredményt évszámnak gondolva megérthető az a kis játék, amivel a szokatlan (2) egyenlőtlenségek révén (1) jobb oldalára az,,igazán aktuális''

1973

évszám jutott.

(\binom{n}{2})

alakú binom együtthatóval nem lehet ,,közelebb menni'' az

1973

-hoz.