Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.185	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Kiss Emil , Páles Zsolt , Pócsi György
Füzet:	1975/október, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/október: Pontversenyen kívüli P.185

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy $N$ természetes szám tízes számrendszerben kiírva akkor és csak akkor kezdődik az adott 1, 9, 7, 3 jegyekkel, ha alkalmas $k$ mellett

\begin{matrix} 1973 \leq \frac{N}{10^{k}} < 1974 \end{matrix}

(

k

jelenti az 1973 után álló jegyek számát.) Eszerint ha

n

egy adott természetes szám, az

\frac{n^{j}}{10^{k}}

alakú törtek között olyat kell találnunk, amelyik 1973 és 1974 közé esik. 10-es alapú logaritmust használva feltételünket

\begin{matrix} lg 1973 \leq j lg n - k < lg 1974 \end{matrix}

alakba írhatjuk. Általánosabban, igazoljuk a következő állítást: tetszőleges

0 < A < B

számokhoz és tetszőleges

α > 0

irracionális számhoz található olyan

k

és

j

természetes szám, hogy

\begin{matrix} A \leq j α - k < B teljesül . \end{matrix}

Válasszunk egy

M

egész számot, amelyre

\frac{1}{M} < B - A

. Ha sikerül találni olyan

q

egész számot, amelyre

0 < q α - [q α] < \frac{1}{M}

, akkor a

(q α - [q α])

szám egy egész többszöröse biztosan az

(A, B)

intervallumba esik és így állításunkat is beláttuk.
Vegyünk fel egy egységnyi hosszúságú

K

körvonalat és jelöljünk ki rajta egy

P

(0) kezdőpontot. Ezután minden

x \geq 0

valós számhoz rendeljük hozzá a

K

körvonal

P (x)

pontját úgy, hogy

P (0)

-ból kiindulva pozitív irányban

x

hosszúságú ívet mérünk a körre és ennek végpontja

P (x)

. Világos, hogy

P (x) = P (y)

pontosan akkor teljesül, ha

x - y

egész szám. Eszerint a

P (q α) = P (q α - [q α])

pontok

(q = 0,1,2, ...)

mind különbözők, hiszen a irracionalitása miatt

q_{1} α - q_{2} α

nem lehet egész

q_{1} \neq q_{2}

esetén. Körünket a

\bar{P (0) P (\frac{1}{M})}

\bar{P (\frac{1}{M}) P (\frac{2}{M})}

..., \bar{P (1 - \frac{1}{M}) P (0)}

ívekkel osszuk

M

egyenlő részre. Az

M + 1

darab

P (α)

P (2 α), ..., P ((M + 1) α)

pont közül van kettő, amely ugyanarra az ívre esik, azaz mondjuk

P (q_{1} α)

és

P (q_{2} α)

távolsága a körön mérve

\frac{1}{M}

-nél kisebb. Legyen

q_{1} < q_{2}, q_{2} = q_{1} + d

. A

P (q_{1} α + d α)

pont

P (q_{1} α)

-hoz viszonyítva ugyanúgy helyezkedik el, mint

P (d α)

P (0)

-hoz képest, azaz

P (d α)

vagy a

\bar{P (0) P (\frac{1}{M})}

vagy a

\bar{P (1 - \frac{1}{M}) P (0)}

íven van. Az első esetben készen vagyunk, a másodikban az előző gondolatmenet megismétlésével vegyük észre, hogy

P (d α), P (2 d α), ..., P (k d α)

egymás után ugyanúgy helyezkedik el, mint

P (d α)

P (0)

-hoz képest, azaz egyenlő távolságban negatív forgás szerint követik egymást, és ez az egyenlő távolság

\frac{1}{M}

-nél kisebb. Így ez a sorozat a

\bar{P (0) P (\frac{1}{M})}

ívet nem ugorhatja át, tehát alkalmas

k

-val

P (k d α)

ezen az íven van.
Most már csak azt kell belátnunk, hogy

lg n

irracionális, és így

α = lg n

választással alkalmazható a fenti észrevétel.
Ha a

p > 0, q > 0

egész számokra

lg n = \frac{p}{q}

fennállna, akkor ebből

n = 10^{p / q}

, azaz

n^{q} = 10^{p}

következne. Az

n^{q} = 2^{p} \cdot 5^{p}

felbontásából látható, hogy

10 | n

és hogy

n

-nek, 2-től és 5-től különböző törzstényezője nem lehet. Innen már világos, hogy

n

maga is hatványa 10-nek, hiszen

n = 2^{α} \cdot 5^{β}

alapján

2^{α \cdot q} \cdot 5^{β \cdot q} = 2^{p} \cdot 5^{p}

-ből

α = β

Ám a feladat feltétele szerint

n \neq 10^{k} (k = 0,1,2, ...,)

Pócsi György (Debrecen, Fazekas M. Gimn., IV. o. t.)