Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.181	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Ábrahám T. , Borbély A. , Csuka G. , Fazekas l. , Fodor J. , Gulyás M. , Kelemen D. , Kiss E. , Koltay K. , Kuhár Gy. , Lakner P. , Lelkes A. , Molnár Gy. , Páles Zs. , Rapp F. , Réti Zoltán , Somogyi Á. , Szöllős L. , Tóth B. , Veres S.
Füzet:	1974/április, 169. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek, Egészrész, törtrész függvények, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/szeptember: Pontversenyen kívüli P.181

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $x$ nemnegatív szám megoldása az egyenletnek, akkor legyenek $h$ és $k$ azok a nemnegatív egész számok, melyekre teljesül

\begin{matrix} k^{2} ≦ h ≦ x < h + 1 ≦ {(k + 1)}^{2}, \end{matrix}

azaz

h = [x]

, és

k^{2}

h

-nál nem nagyobb négyzetszámok közül a legnagyobb. Így az egyenlet ekvivalens a

\begin{matrix} \sqrt[]{k} = [\sqrt[]{k}] \end{matrix}

egyenlettel, ami akkor és csak akkor teljesül, ha

k

négyzetszám, azaz

k = n^{2}

; tehát egyenletünk megoldásai azok az

x

számok, amelyekhez található olyan

n

nemnegatív egész szám, hogy

\begin{matrix} n^{4} ≦ x < {(n^{2} + 1)}^{2} = n^{4} + 2 n^{2} + 1. \end{matrix}

Réti Zoltán (Budapest, Berzsenyi D. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Az

n = 0

és

n = 1

értékekhez így adódó [0, 1) és [1; 4) jobbról nyitott intervallumok egyesíthetők a [0; 4) intervallummá. A következők: [16; 25), [81; 100), [256; 289) s í.t.