A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Felhasználjuk a következő segédtételt: ha valamely függvény az intervallumban folytonos és , (vagy fordítva), akkor létezik legalább egy olyan hely, melyre és . Tekintsük a függvényt. Erre alapján | | Két eset lehetséges. Vagy minden -ra vagy nem, s ebben az esetben van olyan és , melyekre pl. Az első esetben nyilván készen vagyunk, a második esetben pedig az említett segédtételből következik állításunk. Lévai Miklós (Tata, Eötvös J. Gimn.) Megjegyzések. 1. Érdekes, hogy a tételben csak természetes szám lehet. Az első pillanatban arra gondolhatunk, hogy a tétel általánosítható nem egész -ekre. Ez azonban nem igaz. Tekintsük ugyanis az | | függvényt, ahol , nem egész. Mivel , és folytonos, a feltételek teljesülnek. Tegyük fel, hogy valamely esetén
azaz
Ebből átrendezéssel a egyenlethez jutunk, ahonnan ahol valamely egész szám, és alapján következik, ahol természetes szám. Ezzel állításunkat beláttuk. Lelkes András (Budapest, Berzsenyi D. Gimn.) 2. Az alábbi szemléletes meggondolás pontossá tételével újabb megoldást kaphatunk (éspedig sokkal általánosabb formában). Vegyünk egy olyan (egyenes) körhengert, melynek körmetszete kerületű. A síkot (melyben adott az függvény képe) tekerjük rá a hengerre úgy, hogy az tengely éppen -ra tekeredjen. Ha egész, akkor miatt a (0, 0)-pont és az (1, 0) pont fedik egymást mondjuk -ben a hengeren, és ha , akkor a -ből kiinduló és -be visszatérő folytonos görbe a hengert legalább kétszer "megkerüli'', és önmagát metszi. Ez feladatunk állításának helyességét mutatja.
|
|