A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ismeretes ‐ ez könnyen be is látható ‐ a szabályos háromszög rács következő tulajdonsága: ha és rácspont, akkor -nek körüli -os elforgatottja is rácspont. Ezt használjuk fel. Indirekt módon bizonyítunk. Tegyük fel, hogy az , , és rácspontok által meghatározott négyszög négyzet (a csúcsok körüljárása legyen pozitív). Jelölje mellett , és rendre -nek körüli, -nek körüli, -nek körüli és -nek körüli -os elforgatottját. Az előbb mondottak értelmében a forgatásokkal kapott pontok mindegyike rácspont. -nek az egyenestől mért távolsága , tehát kisebb, mint , ezért az , , és pontok mindegyike az négyzet belsejében van (1. ábra).
1. ábra Ha az és négyszögeket -kal elforgatjuk az négyzet középpontja körül, az pont -be, a pont -be, a pont -be és a pont -be kerül, vagyis is négyzet. Így azt kaptuk, hogy az négyzet belsejében végtelen sok rácspont van, ez pedig ellentmondás. Jakab Tibor (Budapest, Berzsenyi D. Gimn.)
II. megoldás. Ismét indirekt módon bizonyítunk. A rácspontokból álló négyzet csúcsait (a pozitív körüljárás irányában haladva) jelölje , , és . Az adott rácsot meghatározó háromszöggel egybevágó pozitív körüljárású háromszög csúcsában vegyük fel a koordináta-rendszer kezdőpontját, és az félegyenes legyen az tengely pozitív fele (2. ábra).
2. ábra Mint ismeretes, azok és csak azok a pontok lesznek rácspontok, amelyekre alkalmas és egész számokkal Ezért, s a feltevés alapján van olyan , , , egész szám, hogy
Mivel másrészt koordinátái és koordinátái azért
A feltevés szerint az -nek -os elforgatottja, ezért
Ezekből ellentmondás következik, hiszen pl. , vagyis racionális, ami nyilván nem igaz. Kelemen Dezső (Kaposvár, Táncsics M. Gimn.)
|