Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.175	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Kiss Emil , Kollár János , Kópházi József , Lévai Miklós , Páles Zsolt , Vörös Zoltán
Füzet:	1974/március, 120 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Komplex számok tulajdonságai, Komplex számok konjugáltja, Algebra alaptétele, Komplex együtthatós polinomok, Valós együtthatós polinomok, Polinomok négyzetösszege, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/április: Pontversenyen kívüli P.175

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $c (f^{2} + g^{2}) = {(\sqrt[]{c} f)}^{2} + {(\sqrt[]{c} g)}^{2}$ és $1 = {(\frac{\sqrt[]{2}}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt[]{2}}{2})}^{2}$ azonosságok alapján feltehetjük, hogy legalább elsőfokú polinomról van szó és a legmagasabb fokú tag együtthatója $1$ . Az algebra alaptétele szerint minden ilyen $n$ -edfokú $f (x)$ polinom felírható a következő alakban:

\begin{matrix} f (x) = (x - α_{1}) (x - α_{2}) ... (x - α_{n}), \end{matrix}

(1)

ahol

α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}

f (x)

gyökei, egymástól nem feltétlenül különböző komplex számok.
Ha

f (x) ≧ 0

, akkor bármely valós gyökének megfelelő gyöktényező páros sokszor szerepel (1)-ben, mert különben

f (x)

előjelet váltana az illető gyök-helyen áthaladva. Így

\begin{matrix} f (x) = g^{2} (x) \cdot h (x), \end{matrix}

(2)

ahol

g (x)

és

h (x)

valós együtthatós polinomok,

h (x) ≧ 0

és

h (x)

-nek nincs valós gyöke.
A továbbiakban felhasználjuk a következő egyszerű összefüggéseket:

\begin{matrix} \bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}, \bar{z_{1} z_{2}} = (\bar{z_{1}}) \cdot (\bar{z_{2}}) \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} z \cdot \bar{z} = {(Re z)}^{2} + {(Im z)}^{2}, \end{matrix}

(4)

ahol

z_{1}

z_{2}

tetszőleges komplex számok, továbbá

\bar{z}

Re

z

ill.

t e x t I m

z

, rendre a

z

konjugáltját, valós részét, ill. képzetes részét jelöli.

(3) alapján könnyen belátható, hogy ha az

α

komplex szám gyöke

h (x)

-nek, akkor

\bar{α}

is gyöke

h (x)

-nek, tehát

h (x)

gyöktényezős felbontását (3) alapján átalakítva

h (x) = r (x) \cdot \bar{r (x)}

, ahol

r (x)

komplex együtthatós polinom. Felhasználva (4)-et

\begin{matrix} h (x) = {{[Re r (x)]}^{2} + [Im r (x)]}^{2} . \end{matrix}

Így (2) alapján

\begin{matrix} f (x) = {[g (x) \cdot Re r (x)]}^{2} + {[g (x) \cdot Im r (x)]}^{2}, \end{matrix}

ami a feladat állítását adja, hiszen

g (x)

Re r (x)

és

Im r (x)

valós együtthatós polinomok.