|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.175 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Kiss Emil , Kollár János , Kópházi József , Lévai Miklós , Páles Zsolt , Vörös Zoltán |
Füzet: |
1974/március,
120 - 121. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Komplex számok tulajdonságai, Komplex számok konjugáltja, Algebra alaptétele, Komplex együtthatós polinomok, Valós együtthatós polinomok, Polinomok négyzetösszege, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1973/április: Pontversenyen kívüli P.175 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A és azonosságok alapján feltehetjük, hogy legalább elsőfokú polinomról van szó és a legmagasabb fokú tag együtthatója . Az algebra alaptétele szerint minden ilyen -edfokú polinom felírható a következő alakban: | | (1) | ahol az gyökei, egymástól nem feltétlenül különböző komplex számok. Ha , akkor bármely valós gyökének megfelelő gyöktényező páros sokszor szerepel (1)-ben, mert különben előjelet váltana az illető gyök-helyen áthaladva. Így ahol és valós együtthatós polinomok, és -nek nincs valós gyöke. A továbbiakban felhasználjuk a következő egyszerű összefüggéseket: | | (3) | ahol , tetszőleges komplex számok, továbbá , ill. , rendre a konjugáltját, valós részét, ill. képzetes részét jelöli. (3) alapján könnyen belátható, hogy ha az komplex szám gyöke -nek, akkor is gyöke -nek, tehát gyöktényezős felbontását (3) alapján átalakítva , ahol komplex együtthatós polinom. Felhasználva (4)-et | | Így (2) alapján | | ami a feladat állítását adja, hiszen , és valós együtthatós polinomok. |
|