Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.173	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Bacsó G. , Fukker B. , Kiss E. , Kollár J. , Kópházi J. , Kozma I. , Megyesi Gy. , Pálffy L.
Füzet:	1974/január, 25 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Térfogat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Térgeometriai bizonyítások, Gömb és részei, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Tetraéderek, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/április: Pontversenyen kívüli P.173

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1782. feladatban^{$^{*}$} bebizonyítottuk, hogy adott körbe írható háromszögek közül a szabályosnak a területe a legnagyobb.
Jelölje egy, az $O$ középpontú, $R$ sugarú gömbbe írt tetraéder csúcsait $A$ , $B$ , $C$ és $D$ . Az $A B C$ háromszög köré írt kör (az $A B C$ sík és a gömb metszete) legyen $k$ . Tekintsük azt a gömbünkbe írt $A B C D'$ tetraédert, melyre $D'$ az $A B C$ síknak ugyanazon az oldalán van, mint $D$ , és $O D' ⊥ A B C$ , továbbá azt az $A B' C' D'$ tetraédert, melyre az $A B' C'$ háromszög a $k$ körbe írt szabályos háromszög. Az 1782. feladat értelmében a térfogatokra nyilvánvalóan

\begin{matrix} V_{A B C D} \leq V_{A B C D'} \leq V_{A B' C' D'} . \end{matrix}

A B' C' D'

tetraéder tehát olyan, hogy az

A B' C'

háromszög szabályos és

O D' ⊥ A B' C'

Tegyük fel először, hogy

D'

A B' C'

síknak ugyanazon oldalán van, mint

O

. Az

A B' C'

háromszög középpontja legyen

D^{*}

, s jelöljük

O D^{*}

-ot

x

-szel. Fejezzük ki a térfogatot

x

-szel. Pitagorász tételének többszöri alkalmazásával

\begin{matrix} A D^{*} = \sqrt[]{R^{2} - x^{2}}, A B' = \sqrt[]{3} \cdot \sqrt[]{R^{2} - x^{2}}, \\ V_{A B' C' D'} = \frac{(R^{2} - x^{2}) (R + x) \sqrt[]{3}}{4} . \end{matrix}

Írjuk ezt a következő alakban:

\begin{matrix} V_{A B' C' D'} = \frac{\sqrt[]{3}}{8} (2 R - 2 x) (R + x) (R + x) . \end{matrix}

Alkalmazva a mértani és a számtani közép közötti összefüggést:

\begin{matrix} \sqrt[3]{V_{A B' C' D'}} = \frac{\sqrt[6]{3}}{2} \cdot \sqrt[3]{(2 R - 2 x) (R + x) (R + x)} \leq \frac{\sqrt[6]{3}}{2} \cdot \frac{4 R}{3} = \frac{\sqrt[6]{3} \cdot 2 R}{3} . \end{matrix}

Innen a

\begin{matrix} V_{A B' C' D'} \leq \frac{8 R^{3}}{9 \sqrt[]{3}} \end{matrix}

egyenlőtlenséget kapjuk, ami éppen a bizonyítandó állítás. Könnyen látható, hogy egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha a tetraéder szabályos.
Ha

O

és

D'

nincsenek az

A B' C'

sík ugyanazon oldalán, akkor

D'

-t

O

-ra tükrözve a

D''

-be, nyilvánvalóan

\begin{matrix} V_{A B' C' D'} < V_{A B' C' D''} \leq \frac{8 R^{3}}{9 \sqrt[]{3}} \end{matrix}

(ez utóbbi a fenti gondolatmenet alkalmazhatósága alapján igaz), s innen ugyancsak következik az állítás.

^{$^{*}$}Lásd a megoldást K. M. L. 45 (1972) 52. oldal.