Feladat: Pontversenyen kívüli P.171 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Bacsó Gábor ,  Kertész Gábor ,  Kiss Emil ,  Kollár János ,  Kópházi J. ,  Kovács G. 
Füzet: 1973/november, 156 - 157. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Térgeometriai bizonyítások, Gömb és részei, Szabályos tetraéder, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1973/március: Pontversenyen kívüli P.171

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk egy olyan ABCD=T szabályos tetraédert, melynek középpontja az adott F fényforrás. Az F-ből kiinduló bármely fénysugár beleütközik T-nek egyik (és csakis egyik) lapjába vagy élébe. Az ABC lap (belső és kerületi) pontjai felé induló fénysugarakat felfoghatjuk bármely olyan GD gömbbel, amely átmegy az A, B, C pontokon és amelyre nézve F külső pont (hiszen GD az ABC lap síkját az ABC háromszög köré írt körben metszi, tehát e háromszög benne van GD ben). GD középpontja nyilvánvalóan a DF egyenesen van.
Mivel GD tömör test és a BC él ennek húrja, azért eljárásunkat nem ismételhetjük meg szó szerint a BCD lap felé induló fénysugarak felfogására (azaz A helyére D-t írva), de megismételhetjük T-nek az F-ből mint hasonlósági centrumból megalkotott megfelelő arányú T'=A'B'C'D' nagyított képén, hiszen minden ilyen nagyításban azok és csak azok a fénysugarak haladnak át a B'C'D' lapon, amelyek áthaladtak a BCD-n. Elegendő akkora arányú nagyítás, hogy T' zárja magába GD-t. Ekkor fölvehető a B', C', D' pontokon át olyan GA gömb, melyre nézve F külső pont és amelynek nincs közös pontja GD-vel, és ez felfogja a BCD lapon áthaladt fénysugarakat.
Újabb megfelelő nagyítás után egy, a T''=A''B''C''D'' tetraéder C'', D'', A'' csúcsain átmenő GB gömbbel hasonlóan felfoghatjuk az F-ből a CDA lap pontjai felé irányuló sugarakat, végül harmadik ilyen nagyítás után egy ugyanígy választott GC gömbbel a DAB lap felé irányuló fénysugarakat. Ekkor a térnek a GD, GA, GB, GC gömbök konvex burkán kívüli részébe nem jut el F-ből egyetlen fénysugár sem, ezzel bebizonyítottuk az állítást.

 


 

Megjegyzések. 1. Nem kívántuk számítással kísérni bizonyításunkat, csupán említjük, hogy GD középpontjául alkalmas D-nek az ABC síkra való tükörképe is. Alakzatunknak a BDF síkkal alkotott metszetéhez pedig csak azt jegyezzük meg, hogy ha GD és GA körmetszete érinti az FB(=FB') egyenest, akkor GD és GA nyilvánvalóan egymáson kívül állnak.
2. Kiindulhattunk volna természetesen tetszőleges olyan tetraéderből is, melynek belső pontja F, a lényeges az, hogy a tetraéder 4 lapjával a teljes teret 4 konvex triéderre osszuk, F-fel mint közös csúccsal és 3‐3-mal az FA, FB, FC, FD élek közül, és hogy mindegyik triédert egy-egy olyan gömbbel zárjuk le, amelyek nem hatolnak egymásba. (Bármelyik két triédernek 2 éle közös.)