A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Vegyünk egy olyan szabályos tetraédert, melynek középpontja az adott fényforrás. Az -ből kiinduló bármely fénysugár beleütközik -nek egyik (és csakis egyik) lapjába vagy élébe. Az lap (belső és kerületi) pontjai felé induló fénysugarakat felfoghatjuk bármely olyan gömbbel, amely átmegy az , , pontokon és amelyre nézve külső pont (hiszen az lap síkját az háromszög köré írt körben metszi, tehát e háromszög benne van ben). középpontja nyilvánvalóan a egyenesen van. Mivel tömör test és a él ennek húrja, azért eljárásunkat nem ismételhetjük meg szó szerint a lap felé induló fénysugarak felfogására (azaz helyére -t írva), de megismételhetjük -nek az -ből mint hasonlósági centrumból megalkotott megfelelő arányú nagyított képén, hiszen minden ilyen nagyításban azok és csak azok a fénysugarak haladnak át a lapon, amelyek áthaladtak a -n. Elegendő akkora arányú nagyítás, hogy zárja magába -t. Ekkor fölvehető a , , pontokon át olyan gömb, melyre nézve külső pont és amelynek nincs közös pontja -vel, és ez felfogja a lapon áthaladt fénysugarakat. Újabb megfelelő nagyítás után egy, a tetraéder , , csúcsain átmenő gömbbel hasonlóan felfoghatjuk az -ből a lap pontjai felé irányuló sugarakat, végül harmadik ilyen nagyítás után egy ugyanígy választott gömbbel a lap felé irányuló fénysugarakat. Ekkor a térnek a , , , gömbök konvex burkán kívüli részébe nem jut el -ből egyetlen fénysugár sem, ezzel bebizonyítottuk az állítást.
Megjegyzések. 1. Nem kívántuk számítással kísérni bizonyításunkat, csupán említjük, hogy középpontjául alkalmas -nek az síkra való tükörképe is. Alakzatunknak a síkkal alkotott metszetéhez pedig csak azt jegyezzük meg, hogy ha és körmetszete érinti az egyenest, akkor és nyilvánvalóan egymáson kívül állnak. 2. Kiindulhattunk volna természetesen tetszőleges olyan tetraéderből is, melynek belső pontja , a lényeges az, hogy a tetraéder 4 lapjával a teljes teret 4 konvex triéderre osszuk, -fel mint közös csúccsal és 3‐3-mal az , , , élek közül, és hogy mindegyik triédert egy-egy olyan gömbbel zárjuk le, amelyek nem hatolnak egymásba. (Bármelyik két triédernek 2 éle közös.) |