Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.170	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Kertész Gábor , Kollár János
Füzet:	1975/május, 214 - 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvények, Számsorozatok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1973/március: Pontversenyen kívüli P.170

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A_{n} = 2 (a_{n} - 1)$ , akkor $A_{0} = 2 (c - 1) = C$ , és

\begin{matrix} A_{n} = A_{n - 1}^{2} - 2 n = 1, 2, ... \end{matrix}

(2)

Keressük

A_{n}

-et

A_{n} = P_{n} + Q_{n}

alakban. A komponensekre vonatkozó

\begin{matrix} P_{n} + Q_{n} = P_{n - 1}^{2} + Q_{n - 1}^{2} + 2 (P_{n - 1} Q_{n - 1} - 1) \end{matrix}

(3)

rekurzíót fel tudnánk oldani, ha sikerülne elérni, hogy az utolsó tag minden

n

-re eltűnjön:

\begin{matrix} P_{n - 1} Q_{n - 1} = 1. \end{matrix}

(4)

Ez teljesül, ha biztosítjuk, hogy (3) tagonként

\begin{matrix} (3 a) P_{n} = P_{n - 1}^{2}; (3b) Q_{n} = Q_{n - 1}^{2} \end{matrix}

is teljesüljön, Ebben az esetben ugyanis elég (4)-et

n = 1

mellett biztosítani, hiszen ha (4) teljesül valamilyen

n

-re, akkor (3a) és (3b) szerint

(n + 1)

-re is teljesül.
Legyen tehát

P_{0}

Q_{0}

\begin{matrix} \begin{matrix} P_{0} Q_{0} = 1 \\ P_{0} + Q_{0} = C \end{matrix} \end{matrix}

(5)

egyenletrendszer gyöke (ha megoldásul komplex számokat is megengedünk, (5) tetszőleges

C

mellett megoldható). Ezekből a

P_{0}

Q_{0}

számokból kiindulva képezzük a (3a), (3b) képzési szabállyal a

P_{0}

Q_{0}

számokat: ezekre (4) teljesülni fog minden

n

-re, és a belőlük kapott

A_{n} = P_{n} + Q_{n}

sorozatra teljesül (2). Könnyen látható, hogy (3a), (3b) szerint

\begin{matrix} P_{n} = P_{0}^{2^{n}}, Q_{n} = Q_{0}^{2^{n}} + 1) . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} a_{n} = \frac{1}{2} (P_{0}^{2^{n}} + Q_{0}^{2^{\underset{̲}{n}}}, \end{matrix}

ahol

P_{0}

Q_{0}

(5) gyökei, és (5)-ben

C = 2 c - 2

Kollár János (Budapest, Piarista Gimn.)