|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.157 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bacsó Gábor , Bara Tamás , Kiss Emil , Lelkes András , Páles Zsolt , Réti Zoltán , Vörös Zoltán |
Füzet: |
1974/november,
153 - 154. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Valós számok és tulajdonságaik, Sorozat határértéke, Konvergens sorok, Határozott integrál, Teljes indukció módszere, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1972/december: Pontversenyen kívüli P.157 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először is megmutatjuk, hogy | | (amelyik számnak két tizedestört alakja van, annak a véges alakját használjuk, pl. 45 -nél a 0,800... alakot használjuk és nem a 0,799... alakot). Állításunk n=1-re igaz. Belátjuk, hogy ha n-re igaz az állításunk, akkor (n+1)-re is igaz. Tekintsük fn+1(x)-et. Ha x-ben az első n tizedesjegy között van 5-ös, akkor (3) szerint fn(x)>0, ezért fn+1(x)=fn(x). Ha az első 5-ös a k-adik tizedesjegy, akkor fn+1(x)=fn(x)=qk-1 (k≤n). Ha x-ben az első 5-ös az (n+1)-edik tizedesjegy, akkor fn+1(x)=qn+1-1=qn, hiszen x (n+1)-edik tizedesjegye 5-ös és fn(x) ennél az x-nél (1) miatt 0 volt. Végül ha x-ben az (n+1)-edik tizedesjegyig nincs 5-ös, akkor az indukciósfeltétel miatt fn+1(x)=0. Ezzel (3)-at beláttuk. Az fn(x) függvény (3) alatti alakja szerint | an=∫01fn(x)dx=∑k=1nαkqk-1, | ahol αk mindazon szakaszok hosszának összege, amelyek részei a (0;1) intervallumnak és tetszőleges pontjuknak tizedestört alakjában a k-adik tizedesjegy 5-ös, de az előtte levők egyike sem az. Az αk számok meghatározása céljából osszuk fel a (0;1) intervallumot 10kdb110k hosszúságú, balról zárt, jobbról nyílt intervallumra. Közülük egy tetszőlegest kiválasztva, annak bal oldali végpontja 0,b1b2...bk00... alakú, és az intervallumbeli összes szám első k tizedesjegye megegyezik Így elegendő az intervallumok bal végpontját vizsgálni. Mivel a megfelelő bal végpontok száma 9k-1, αk=9k-110k, így | an=∫01fn(x)dx=∑k=1n9k-1qk-110k=110(910q)n-1(9q10)-1. | A keresett határérték ennek alapján | limn→∞an=11-9q10⋅110=110-9q,mert9q10<1. |
Kiss Emil (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.) |
|