Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.157	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsó Gábor , Bara Tamás , Kiss Emil , Lelkes András , Páles Zsolt , Réti Zoltán , Vörös Zoltán
Füzet:	1974/november, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Sorozat határértéke, Konvergens sorok, Határozott integrál, Teljes indukció módszere, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/december: Pontversenyen kívüli P.157

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először is megmutatjuk, hogy

\begin{matrix} f_{n} (x) = {\begin{matrix} q^{k - 1}, & ha x tizedestört alakjában a k . helyen \\ szerepel először az 5 -ös és k \leq n, & (3) \\ 0, & ha az első n tizedesjegyben nincs 5 -ös \end{matrix} \end{matrix}

(amelyik számnak két tizedestört alakja van, annak a véges alakját használjuk, pl.

\frac{4}{5}

-nél a

0, 800 ...

alakot használjuk és nem a

0, 799 ...

alakot).
Állításunk

n = 1

-re igaz. Belátjuk, hogy ha

n

-re igaz az állításunk, akkor

(n + 1)

-re is igaz. Tekintsük

f_{n + 1} (x)

-et. Ha

x

-ben az első

n

tizedesjegy között van

5

-ös, akkor (3) szerint

f_{n} (x) > 0

, ezért

f_{n + 1} (x) = f_{n} (x)

. Ha az első

5

-ös a

k

-adik tizedesjegy, akkor

f_{n + 1} (x) = f_{n} (x) = q^{k - 1}

(k \leq n)

. Ha

x

-ben az első

5

-ös az

(n + 1)

-edik tizedesjegy, akkor

f_{n + 1} (x) = q^{n + 1 - 1} = q^{n}

, hiszen

x

(n + 1)

-edik tizedesjegye

5

-ös és

f_{n} (x)

ennél az

x

-nél (1) miatt

0

volt. Végül ha

x

-ben az

(n + 1)

-edik tizedesjegyig nincs

5

-ös, akkor az indukciósfeltétel miatt

f_{n + 1} (x) = 0

. Ezzel (3)-at beláttuk.
Az

f_{n} (x)

függvény (3) alatti alakja szerint

\begin{matrix} a_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \sum_{k = 1}^{n} α_{k} q^{k - 1}, \end{matrix}

ahol

α_{k}

mindazon szakaszok hosszának összege, amelyek részei a

(0; 1)

intervallumnak és tetszőleges pontjuknak tizedestört alakjában a

k

-adik tizedesjegy

5

-ös, de az előtte levők egyike sem az.
Az

α_{k}

számok meghatározása céljából osszuk fel a

(0; 1)

intervallumot

10^{k} db \frac{1}{10^{k}}

hosszúságú, balról zárt, jobbról nyílt intervallumra. Közülük egy tetszőlegest kiválasztva, annak bal oldali végpontja

0, b_{1} b_{2} ... b_{k} 00 ...

alakú, és az intervallumbeli összes szám első

k

tizedesjegye megegyezik Így elegendő az intervallumok bal végpontját vizsgálni. Mivel a megfelelő bal végpontok száma

9^{k - 1}

α_{k} = \frac{9^{k - 1}}{10^{k}}

, így

\begin{matrix} a_{n} = \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x = \sum_{k = 1}^{n} \frac{9^{k - 1} q^{k - 1}}{10^{k}} = \frac{1}{10} \frac{{(\frac{9}{10} q)}^{n} - 1}{(\frac{9 q}{10}) - 1} . \end{matrix}

A keresett határérték ennek alapján

\begin{matrix} {lim}_{n \to \infty}^{} a_{n} = \frac{1}{1 - \frac{9 q}{10}} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{10 - 9 q}, mert \frac{9 q}{10} < 1. \end{matrix}

Kiss Emil (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)