Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.156	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsó Gábor , Bara Tamás , Bartolits István , Gáncs István , Kiss Emil , Kollár János , Oláh Vera , Páles Zsolt
Füzet:	1975/január, 28. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/november: Pontversenyen kívüli P.156

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szerkesszünk a tetraéder egyik csúcsa (pl. $A$ ) mint középpont köré egy akkora gömböt, hogy az $A$ -ból induló élek metsszék a gömbfelszínt. Ekkor a gömbfelszín és a tetraéder ‐ $A$ -hoz csatlakozó ‐ lapjainak metszésvonala egy gömbháromszöget határoz meg. A gömbháromszög oldalait: $a$ , $b$ , $c$ , szögeit: $α$ , $β$ , $γ$ jelölje. A gömbháromszögekre vonatkozó egyik cosinus-tétel szerint (ld. Hack-Kugler: Függvénytáblázat, 80. oldal)

\begin{matrix} cos a = \frac{cos α + cos β cos γ}{sin β sin γ} . \end{matrix}

A feltétel szerint most

α

β

γ

hegyesszögek. Ezért a jobb oldalon szereplő tört értéke pozitív, s így

cos a

is pozitív. Ez pedig azt jelenti, hogy

a

hegyesszög. A feladat állítását ezzel beláttuk.

Gáncs István (Győr, Révai M. Gimn., IV. o. t.)