Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.155	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gáncs István , Hollósy A. , Kiss E. , Kollár J. , Lelkes A. , Lévay M. , Nagy Z. , Oláh Vera , Sebestyén L. , Turschl J. , Vajna B. , Vörös Z.
Füzet:	1973/szeptember, 22 - 23. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konvergens végtelen sorozatok, Integrálszámítás, Numerikus és grafikus módszerek, Számsorozatok, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/november: Pontversenyen kívüli P.155

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A számsorozat $n$ indexű tagját

\begin{matrix} \frac{1}{n} {\sqrt[]{1 - {(\frac{1}{n})}^{2}} + \sqrt[]{1 - {(\frac{2}{n})}^{2}} + ... + \sqrt[]{1 - {(\frac{n - 1}{n})}^{2}} + \sqrt[]{1 - {(\frac{n}{n})}^{2}}} \end{matrix}

alakba írva, felismerjük róla, hagy tekinthető integrálközelítő összegnek, pontosabban a

\sqrt[]{1 - x^{2}}

függvény

(0, 1)

intervallumon vett integráljához és az intervallum

n

egyenlő részre való felosztásához tartozó alsó közelítő téglalapösszegnek. Ugyanis a mondott függvény az intervallumban szigorúan monoton, csökkenő, így minden részintervallum végpontjában

\begin{matrix} (az \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, ..., \frac{n - 1}{n}, \frac{n}{n} pontban) \end{matrix}

a legkisebb értékét veszi fel.
A függvény az intervallumban folytonos, tehát integrálható, pozitív és a mondott integrál értéke

\begin{matrix} \int_{0}^{1} \sqrt[]{1 - x^{2}} d x = \frac{π}{4}, \end{matrix}

hiszen a függvényt ábrázoló görbe az origó körüli egységkörnek az I. síknegyedbe eső negyedíve, tehát az alatta levő terület a kör negyedrésze.
És mivel

n

minden határon túl való növelésével a mondott felosztás minden határon túl finomodik, azért a közelítő összeg tart az integrál értékéhez, tehát a keresett határérték

π / 4

Gáncs István (Győr, Révai M. Gimn.)