Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.153	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsó G. , Császár Gy. , Gáncs I. , Kiss E. , Kollár J. , Oláh Vera , Páles Zs.
Füzet:	1973/március, 120 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok és tulajdonságaik, Összefüggések binomiális együtthatókra, Egyéb feladványok, Egyenlőtlenségek, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/november: Pontversenyen kívüli P.153

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Hagyjunk el egyet az $x_{1}$ , $x_{2}$ , $...$ , $x_{2 n + 1}$ számok közül és vegyünk ki minden lehetséges módon a maradó $2 n$ szám közül $n$ -et, majd osszuk el ezek szorzatát az $n$ kimaradó szorzatával. Jelölje az elhagyott számot $x_{k}$ és a kapott $(\binom{2 n}{n})$ darab szám összegét $A_{k}$ , ekkor a feladatban szereplő új számok $S$ összegének $(n + 1)$ -szeresére

\begin{matrix} (n + 1) S = x_{1} A_{1} + x_{2} A_{2} + ... + x_{2 n + 1} A_{2 n + 1}, \end{matrix}

aminek igazolására elég azt megjegyeznünk, hogy ez a kifejezés az

x_{1}

x_{2}

...

x_{2 n + 1}

változókban szimmetrikus és pl. az

\frac{x_{1} x_{2} ... x_{n + 1}}{x_{n + 2} x_{n + 3} ... x_{2 n + 1}}

számunk csak az

x_{1} A_{1}

x_{2} A_{2}

...

x_{n + 1} A_{n + 1}

tagokban fordul elő, és minden ilyen tagban pontosan egyszer.
Mivel

2 n

szám közül

n

-et kiválasztva a maradók száma is

n

, azért az

A_{k}

-ban szereplő bármely tört reciproka is előfordul

A_{k}

-ban, vagyis az

A_{k}

összeg

\frac{1}{2} (\binom{2 n}{n})

számú olyan pár összege, amelyek mindegyikének tagjai egy tört és a reciproka. Tehát

\begin{matrix} A_{k} ≧ (\binom{2 n}{n}) \end{matrix}

hiszen ismeretes, hogy egy pozitív számnak és a reciprokának az összege legalább 2. Mivel

S

tagjainak száma

(\binom{2 n + 1}{n + 1})

azért (1) alapján számtani közepük

\begin{matrix} \frac{S}{(\binom{2 n + 1}{n + 1})} ≧ \frac{x_{1} (\binom{2 n}{n}) + x_{2} (\binom{2 n}{n}) + ... + x_{2 n + 1} (\binom{2 n}{n})}{(n + 1) (\binom{2 n + 1}{n + 1})} = \\ = \frac{x_{1} + x_{2} + ... + x_{2 n + 1}}{2 n + 1}, \end{matrix}

amint a feladat állítja, hiszen

\begin{matrix} (\binom{2 n + 1}{n + 1}) = \frac{2 n + 1}{n + 1} (\binom{2 n}{n}) . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. A megoldásból egyszerűen kiolvasható, hogy egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha

x_{1} = x_{2} = ... = x_{2 n + 1}

.
2. Megmutatható, hogy az egyenlőtlenség fennáll akkor is, ha az eredeti számok szorzata pozitív.