|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.153 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bacsó G. , Császár Gy. , Gáncs I. , Kiss E. , Kollár J. , Oláh Vera , Páles Zs. |
Füzet: |
1973/március,
120 - 121. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Valós számok és tulajdonságaik, Összefüggések binomiális együtthatókra, Egyéb feladványok, Egyenlőtlenségek, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1972/november: Pontversenyen kívüli P.153 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Hagyjunk el egyet az , , , számok közül és vegyünk ki minden lehetséges módon a maradó szám közül -et, majd osszuk el ezek szorzatát az kimaradó szorzatával. Jelölje az elhagyott számot és a kapott darab szám összegét , ekkor a feladatban szereplő új számok összegének -szeresére | | aminek igazolására elég azt megjegyeznünk, hogy ez a kifejezés az , , , változókban szimmetrikus és pl. az számunk csak az , , , tagokban fordul elő, és minden ilyen tagban pontosan egyszer. Mivel szám közül -et kiválasztva a maradók száma is , azért az -ban szereplő bármely tört reciproka is előfordul -ban, vagyis az összeg számú olyan pár összege, amelyek mindegyikének tagjai egy tört és a reciproka. Tehát hiszen ismeretes, hogy egy pozitív számnak és a reciprokának az összege legalább 2. Mivel tagjainak száma azért (1) alapján számtani közepük
amint a feladat állítja, hiszen Megjegyzések. 1. A megoldásból egyszerűen kiolvasható, hogy egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha . 2. Megmutatható, hogy az egyenlőtlenség fennáll akkor is, ha az eredeti számok szorzata pozitív.
|
|