Feladat: Pontversenyen kívüli P.149 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bacsó Gábor ,  Bara Tamás ,  Bartolits István ,  Erdős Péter ,  Kiss Emil ,  Lelkes András ,  Nemes Kálmán ,  Pallagi Dezső 
Füzet: 1975/január, 26. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Oszthatóság, Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/október: Pontversenyen kívüli P.149

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha n1,n2,...,nr olyan természetes számok, hogy számjegyeik összegei között előfordul 13 egymás után következő természetes szám, s így legalább az egyik osztható 13-mal, akkor az n1,n2,...,nr számok között van kissé szerencsétlen szám. Így bármely k nemnegatív egész számra a [100(k+1),100(k+1)+39], [100k+60,100k+99] és a [100k+20,100k+59] zárt intervallumok mindegyikében van legalább egy kissé szerencsétlen szám. Ezek alapján először megmutatjuk, hogy ha n és m(n<m) szomszédos kissé szerencsétlen számok, akkor m-n79.

 

Két eset lehetséges: van olyan k nemnegatív egész szám, hogy
 

a) n<100(k+1)m, ekkor a fentiek szerint n100k+60 és m100(k+1)+39, tehát valóban m-n79;
 

b) 100kn<m100k+99, ekkor ha m-n>79 lenne, akkor a [100k+20,100k+59] intervallumban nem lenne kissé szerencsétlen szám, ami ellentmond a fentieknek.
 

Könnyen látható, hogy az n=9...98db60, m=n+79 szomszédos kissé szerencsétlen számok, tehát a szomszédos kissé szerencsétlen számok közti különbség maximuma 79.