|
Feladat: |
Pontversenyen kívüli P.146 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bacsó Gábor , Bara T. , Bartolits I. , Császár Gy. , Kiss Emil , Marcsik R. , Nagy Z. , Oláh Vera , Pallagi D. |
Füzet: |
1973/szeptember,
21 - 22. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenlőtlenségek, Természetes számok, Teljes indukció módszere, Események algebrája, Pontversenyen kívüli probléma |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1972/szeptember: Pontversenyen kívüli P.146 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az állítást -ra vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk. Ha , akkor (1) két oldala azonos, az állítás igaz. Feltéve, hogy (1) igaz valamely kitevőre, ezt felhasználva | | ahhoz tehát, hogy az állítás -re is teljesül, elég igazolni a következőket: | | illetve a bal oldali nagy zárójeleket felbontva, hogy | |
Jelöljük itt az egymás utáni -edik hatványok alapjait röviden rendre , , , betűvel. Így könnyebb látni, hogy
és a bizonyítandó állítás így alakul A (2)-ből esetén ezt a mondott értékekre összeadva, majd a kapott -edfokú polinomok közül a bal oldalit -vel, a jobb oldalit -vel szorozva, egy ismert azonosság és (3) figyelembevételével éppen (4) adódik. Ezzel az állítást igazoltuk. Könnyen látható, hogy (1)-ben akkor és csak akkor áll fenn egyenlőség, ha legalább egy fennáll a következő egyenlőségek közül: Bacsó Gábor (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)
II. megoldás. A feladat állítását valószínűségszámítási értelmezéssel igazoljuk. Fessük egy sorból és oszlopból álló sakktábla mezőit egymástól függetlenül feketére vagy fehérre, és jelöljük -val azt az eseményt, hogy a táblának minden egyes sorában adódott legalább egy fekete mező, -vel pedig azt, hogy minden oszlopban adódott legalább egy fehér mező. Az és események közül legalább az egyik biztosan bekövetkezik a tábla minden teljes kifestésében, különben ugyanis volna olyan sor, amelyben minden mező fehér, és volna olyan oszlop is, melyben minden mező fekete, ami pedig együtt lehetetlen. Így a szokásos jelölésekkel Ha most bármely mező fehérre festésének valószínűsége , akkor ugyanis annak a valószínűsége, hogy egy kiszemelt sorban mind a mezőt fehérre festettük: ; ezért annak a valószínűsége, hagy ebben a sorban van legalább egy fekete mező: ; ebből, egymás után mind az sort véve, adódik (6). ‐ Hasonlóan látható be, hogy és (6)-ot és (7)-et (5)-be behelyettesítve, átrendezéssel éppen az állítást kapjuk. Kiss Emil (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o, t.)
Megjegyzés. Ezzel a meggondolással a következő állítás is igazolható: | | ahol (; ). |
|