Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.146	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bacsó Gábor , Bara T. , Bartolits I. , Császár Gy. , Kiss Emil , Marcsik R. , Nagy Z. , Oláh Vera , Pallagi D.
Füzet:	1973/szeptember, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Természetes számok, Teljes indukció módszere, Események algebrája, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/szeptember: Pontversenyen kívüli P.146

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az állítást $k$ -ra vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk. Ha $k = 1$ , akkor (1) két oldala azonos, az állítás igaz. Feltéve, hogy (1) igaz valamely $k$ kitevőre, ezt felhasználva

\begin{matrix} {[1 - {(1 - x)}^{n}]}^{k + 1} = [1 - {(1 - x)}^{n}] \cdot {[1 - {(1 - x)}^{n}]}^{k} ≧ [1 - {(1 - x)}^{n}] \cdot [1 - {(1 - x^{k})}^{n}], \end{matrix}

ahhoz tehát, hogy az állítás

(k + 1)

-re is teljesül, elég igazolni a következőket:

\begin{matrix} [1 - {(1 - x)}^{n}] \cdot [1 - {(1 - x^{k})}^{n}] ≧ 1 - {(1 - x^{k + 1})}^{n}, \end{matrix}

illetve a bal oldali nagy zárójeleket felbontva, hogy

\begin{matrix} {(1 - x^{k + 1})}^{n} - {(1 - x)}^{n} ≧ {(1 - x^{k})}^{n} - {[(1 - x) (1 - x^{k})]}^{n} . \end{matrix}

Jelöljük itt az egymás utáni

n

-edik hatványok alapjait röviden rendre

a

b

c

d

betűvel. Így könnyebb látni, hogy

\begin{matrix} a ≧ c ≧ 0, b ≧ d ≧ 0 és & (2) \\ a - b = c - d ≧ 0 & (3) \end{matrix}

és a bizonyítandó állítás így alakul

\begin{matrix} a^{n} - b^{n} = c^{n} - d^{n} . \end{matrix}

(4)

A (2)-ből

m = 1,2, ..., n

esetén

\begin{matrix} a^{n - m} b^{m - 1} ≧ c^{n - m} d^{m - 1}, \end{matrix}

ezt a mondott

m

értékekre összeadva, majd a kapott

(n - 1)

-edfokú polinomok közül a bal oldalit

(a - b)

-vel, a jobb oldalit

(c - d)

-vel szorozva, egy ismert azonosság és (3) figyelembevételével éppen (4) adódik. Ezzel az állítást igazoltuk.
Könnyen látható, hogy (1)-ben akkor és csak akkor áll fenn egyenlőség, ha legalább egy fennáll a következő egyenlőségek közül:

\begin{matrix} n = 1, k = 1, x = 0, x = 1. \end{matrix}

Bacsó Gábor (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. A feladat állítását valószínűségszámítási értelmezéssel igazoljuk. Fessük egy

n

sorból és

k

oszlopból álló sakktábla mezőit egymástól függetlenül feketére vagy fehérre, és jelöljük

A

-val azt az eseményt, hogy a táblának minden egyes sorában adódott legalább egy fekete mező,

B

-vel pedig azt, hogy minden oszlopban adódott legalább egy fehér mező. Az

A

és

B

események közül legalább az egyik biztosan bekövetkezik a tábla minden teljes kifestésében, különben ugyanis volna olyan sor, amelyben minden mező fehér, és volna olyan oszlop is, melyben minden mező fekete, ami pedig együtt lehetetlen. Így a szokásos jelölésekkel

\begin{matrix} 1 = P (A + B) ≦ P (A) + P (B) . \end{matrix}

(5)

Ha most bármely mező fehérre festésének valószínűsége

x

, akkor

\begin{matrix} P (A) = {(1 - x^{k})}^{n}, \end{matrix}

(6)

ugyanis annak a valószínűsége, hogy egy kiszemelt sorban mind a

k

mezőt fehérre festettük:

x^{k}

; ezért annak a valószínűsége, hagy ebben a sorban van legalább egy fekete mező:

(1 - x^{k})

; ebből, egymás után mind az

n

sort véve, adódik (6). ‐ Hasonlóan látható be, hogy

\begin{matrix} P (B) = {[1 - {(1 - x)}^{n}]}^{k}, \end{matrix}

(7)

és (6)-ot és (7)-et (5)-be behelyettesítve, átrendezéssel éppen az állítást kapjuk.

Kiss Emil (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o, t.)

Megjegyzés. Ezzel a meggondolással a következő állítás is igazolható:

\begin{matrix} \prod_{i = 1}^{n} (1 - \prod_{j = 1}^{k} x_{i, j}) ≧ 1 - \prod_{j = 1}^{k} (1 - \prod_{i = 1}^{n} x_{i, j}), \end{matrix}

ahol

0 ≦ x_{i, j} ≦ 1

(

i = 1,2, ..., n

;

j = 1,2, ..., k