Kezdőlap


Feladat:	Pontversenyen kívüli P.145	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bíró B. , Császár Gy. , Kiss Emil , Kollár János , Kópházi J. , Marcsik R. , Oláh Vera , Pallagi D.
Füzet:	1973/április, 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvények, Konstruktív megoldási módszer, Pontversenyen kívüli probléma
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/szeptember: Pontversenyen kívüli P.145

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Már a $0$ és az $1$ értékekből képezhető négy $x$ , $y$ számpár közül legalább az egyikre teljesül (1). Ugyanis e számpárok mellett az $f (x) + g (y) - x y$ függvény értéke

\begin{matrix} a & = f (0) + g (0), \\ b & = f (0) + g (1), \\ c & = f (1) + g (0), \\ d & = f (1) + g (1) - 1, \end{matrix}

ezekre tehát

\begin{matrix} b + c - a - d = 1, \end{matrix}

és így a

b

c

(- a)

(- d)

számok közül legalább az egyiknek az abszolút értéke legalább

1 / 4

. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.

Megjegyzés. Ha a föltevésben a

[0,1]

zárt intervallumot

x

és

y

részére egyaránt a

(0,1)

nyílt intervallummal helyettesítjük, akkor a feladat állítása már nem igaz, példa erre

\begin{matrix} f (x) = g (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{8} . \end{matrix}