Legyen $K$ tetszőleges konvex sokszög, amelynek van véges sok paralelogrammára való felbontása. Jelöljük ezt a felbontást $F$-fel, és legyen $AB$ a $K$ sokszög tetszőleges oldala. Fessük pirosra mindazokat az $F$-ben szereplő paralelogrammákat, amelyeknek van $AB$-vel párhuzamos oldaluk. Legyen $e$ egy tetszőleges, pirosra festett paralelogramma $AB$-vel párhuzamos oldalának az egyenese. Ha $e$ metszi $K$-t, tekintsük az $e$-hez csatlakozó piros paralelogrammákat. Ha volna $e$-nek olyan $PQ$ szakasza, amelyhez $e$ egyik oldalán támaszkodik piros paralelogramma, de a másikon nem, az $F$-beli paralelogrammák nem fednék le hézagtalanul $K$-t. Emiatt tetszőleges, $AB$-vel párhuzamos, $K$-t metsző egyenesen a piros szakaszok összhossza ugyanaz, és egyenlő $AB$ hosszával. Ez csak úgy lehet, ha $K$-nak van $AB$-vel párhuzamos és $AB$-vel egyenlő hosszúságú $A^{*}{B}^{*}$ oldala. Válasszuk úgy a betűzést, hogy az $AB$, $A^{*}{B}^{*}$ szakaszok ellentétes irányításúak legyenek. Mivel $AB$ $K$-nak tetszőleges oldala volt, ezzel beláttuk, hogy $K$ minden oldalához található $K$ határvonalán vele párhuzamos és egyenlő oldal. Induljunk el $K$ határvonalán $A$-ból $B$-n át $A^{*}$ felé. Az érintett oldalakon rendre irányt változtatva az irányváltoztatások összege ${180}^{\circ }$, ami ${360}^{\circ }$-ra nő, ha $A^{*}$-ból $B^{*}$-on át visszatérünk $A$-ba. Mivel utunk során az irányváltoztatások mind ugyanabban az irányban történtek, a $B$-hez csatlakozó $BC$ oldallal párhuzamos oldal csak a $B^{*}$-hoz csatlakozó $B^{*}{C}^{*}$ oldal lehet, vagyis az egymáshoz csatlakozó oldalakkal párhuzamos oldalak csatlakoznak egymáshoz. $K$ tetszőleges csúcsához rendeljük hozzá a belőle kiinduló oldalakkal párhuzamos oldalak közös pontját. Ez kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. Nevezzük a megfelelő csúcsokat szemköztieknek, a szemközti csúcsok által meghatározott átlókat átmérőknek. Szomszédos csúcsokkal szemben szomszédos csúcsok vannak, és a belőlük kiinduló átmérők felezik egymást, és közös felezőpontjuk $K$ szimmetriacentruma.
Megfordítva, ha $K$ centrálszimmetrikus, toljuk el a határvonalát úgy, hogy az egyik csúcs a vele szomszédos csúcsba menjen át. Az új határvonalnak csak a $K$ belsejébe eső részét tartsuk meg, ez az eltolás előtti megfelelőjével együtt olyan sávot határol, amelyet az eltolás irányával párhuzamos egyenesekkel könnyen paralelogrammákra bonthatunk. Hagyjuk el a most felbontott sávot $K$-ból, a visszamaradó rész centrálszimmetrikus, és 2-vel kevesebb csúcsa van, mint $K$-nak. Ismételjük meg az eljárásunkat mindaddig, amíg paralelogramma nem marad vissza, ezzel $K$ kívánt felbontását kapjuk.