A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Irracionálisnak a nem racionális (valós) számokat nevezzük, vagyis azokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Minden racionális számot tizedes tört alakra átírva, vagy véges tizedes törtet kapunk vagy szakaszos tizedes törtet, azaz olyat, amelynek számjegyei sorában valahonnan kezdve egy szakasz: véges számú számjegy egymásutánja periodikusan ismétlődik. A szakasz számjegyeinek számát a szakasz (periódus) hosszának nevezzük. Ezek szerint irracionális voltának bizonyításához elég belátni, hogy semmiféle természetes szám nem lehet a periódusának hossza. Felhasználjuk, hogy a hatványok utolsó számjegye az 1, 3, 9 és 7 jegyek valamelyike, utolsó előtti számjegye pedig páros. Bebizonyítjuk továbbá, hogy bármely természetes számhoz van olyan kitevő, hogy a hatvány jegyeinek száma . Valóban, ha egy hatvány jegyű, akkor a következő három intervallum valamelyikébe esik: | | és ennek megfelelően rendre a , , hatvány számjegyeinek száma pontosan ; tehát minden egyes hatványhoz hozzárendelve számjegyeinek számát, ezen új sorozatból egyetlen természetes szám sem hiányzik. Tegyük fel mármost, hogy az (1) szám racionális ‐ ekkor képzésénél fogva nem lehet véges tizedes tört ‐, tizedes tört alakjában a periódus hossza , és az első periódus előtti utolsó számjegy (ami később nem ismétlődik) a hatványból származik. , hiszen láttuk, hogy esetén a hatvány jegyei közt van páratlan is, páros is. Vegyük -nek egy az -nél nagyobb többszörösét és hozzá egy olyan kitevőt, amelyre számjegyeinek száma . ( nem többszöröse -nek.) Leírva utolsó jegyét, ami páratlan, a periodikusság folytán, tőle akárhányszor -vel tovább lépve, ugyanezt a jegyet kellene kapnunk. Ámde -vel tovább lépve az jegyű -nak utolsó előtti jegyét találjuk, ami páros. Ellentmondásra jutottunk, föltevésünk hibás, nem szakaszos végtelen tizedes tört, tehát irracionális.
Megjegyzés. Az idézett gyakorlat kiegészítő kérdésére azt találtuk, hogy az állítás érvényes a 3-as alapszám helyén minden olyan egész számra, melynek utolsó jegye 0, 1, 3, 5, 7 vagy 9, és utolsó előtti jegye páros. Az 5, 7, 9 alapszámokra fenti bizonyításunk is közvetlenül átvihető.
II. megoldás. A hatványok utolsó számjegye periodikusan 1, 3, 9, 7, ezek -ban végtelen sokszor lépnek föl, tehát ha van -nak periódusa, abban is föllép mindegyikük. Eszerint azt a föltevést, hogy periódusának hossza , megcáfolhatjuk annak megmutatásával, hogy -ban végtelen sokszor található egymás után db 0 jegy. Részben megismételjük a Gy. 1330. gyakorlat II. megoldásának gondolatmenetét, helyén -et véve. Tekintsük a hatványok jegyű végződését. A különböző végződések száma véges (nem több, mint ), ezért van olyan , hogy a és hatványok -jegyű végződése egyezik. Így különbségük: () osztható -nel (ami . Mivel relatív prím -hez, azért a tényező osztható -nel, tehát alakú. Ebben a hatványban pedig ‐ és minden -ban is ‐ az a szám utolsó jegye és a szám végén álló 1-es számjegy között db zérus áll. Ezt akartuk bizonyítani.
Fulmer László (Székesfehérvár,Teleki Blanka Gimn., III o. t.) |
Gy. 1211. gyakorlat, K.M.L. 39 (1969) 18‐19.K.M.L. 44 (1972) 16‐17. |